Questão 3. Determine uma parametrização para a esfera centrada na origem de \mathbb{R}^{3}, de raio R, em seguida calcule sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma parametrização da esfera centrada na origem de \mathbb{R}^{3} com raio R; (2) calcular a área dessa esfera. \n
Informações dadas: o centro é a origem (0,0,0) e o raio é R (constante positiva).
Passo 2
Vamos escolher parâmetros angulares que percorrem a esfera: \theta será o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x (vai de 0 a 2\pi) e \varphi será o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (vai de 0 a \pi). Esses dois ângulos cobrem a esfera uma vez (com sobreposição nos polos, mas isso não atrapalha a parametrização). \n
A ideia geométrica: um ponto da esfera de raio R pode ser obtido tomando um ponto da esfera unidade com coordenadas (\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi) e multiplicando por R.
Passo 3
Escrevendo a parametrização explicitamente, definimos a aplicação \mathbf{X}(\theta,\varphi) dada por
Explicando: \mathbf{X}_u e \mathbf{X}_v são as derivadas parciais de \mathbf{X} em relação aos parâmetros; são vetores tangentes à superfície. O produto vetorial \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v dá um vetor perpendicular cuja norma é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{X}_u e \mathbf{X}_v. Integrando \lVert \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v\rVert sobre o domínio dos parâmetros obtemos a área total.
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais de \mathbf{X}(\theta,\varphi). Diferenciando componente a componente:
Vamos calcular as normas de \mathbf{X}_\varphi e \mathbf{X}_\theta e o produto escalar entre eles, para facilitar \lVert \mathbf{X}_\varphi\times\mathbf{X}_\theta\rVert. Primeiro a norma ao quadrado de \mathbf{X}_\varphi:
Resumo prático para a prova: use a parametrização por ângulos \theta e \varphi como em \mathbf{X}(\theta,\varphi) acima; calcule \mathbf{X}_\theta e \mathbf{X}_\varphi, ache \lVert\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_\varphi\rVert (aqui dá R^{2}\sin\varphi) e integre sobre [0,2\pi]\times[0,\pi]. Não se assuste com cálculo vetorial — as contas simplificam bastante por causa das identidades trigonométricas. Você consegue! 😃