Questão 3. Determine uma parametrização para a esfera centrada na origem de \mathbb{R}^{3}, de raio R, em seguida calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma parametrização da esfera centrada na origem de \mathbb{R}^{3} com raio R; (2) calcular a área dessa esfera. \n
Informações dadas: o centro é a origem (0,0,0) e o raio é R (constante positiva).

Passo 2

Vamos escolher parâmetros angulares que percorrem a esfera: \theta será o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x (vai de 0 a 2\pi) e \varphi será o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (vai de 0 a \pi). Esses dois ângulos cobrem a esfera uma vez (com sobreposição nos polos, mas isso não atrapalha a parametrização). \n
A ideia geométrica: um ponto da esfera de raio R pode ser obtido tomando um ponto da esfera unidade com coordenadas (\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi) e multiplicando por R.

Passo 3

Escrevendo a parametrização explicitamente, definimos a aplicação \mathbf{X}(\theta,\varphi) dada por
\mathbf{X}(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr),
com domínio dos parâmetros
0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\pi.
Aqui \theta e \varphi são as variáveis de parametrização; para cada par (\theta,\varphi) obtemos um ponto na superfície da esfera.

Passo 4

Para calcular a área de uma superfície parametrizada por \mathbf{X}(u,v) usamos a fórmula do elemento de área:
dS=\bigl\lVert \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v\bigr\rVert\,du\,dv.
Explicando: \mathbf{X}_u e \mathbf{X}_v são as derivadas parciais de \mathbf{X} em relação aos parâmetros; são vetores tangentes à superfície. O produto vetorial \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v dá um vetor perpendicular cuja norma é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{X}_u e \mathbf{X}_v. Integrando \lVert \mathbf{X}_u\times\mathbf{X}_v\rVert sobre o domínio dos parâmetros obtemos a área total.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais de \mathbf{X}(\theta,\varphi). Diferenciando componente a componente:
\mathbf{X}_\varphi(\theta,\varphi)=\bigl(R\cos\varphi\cos\theta,\;R\cos\varphi\sin\theta,\;-R\sin\varphi\bigr),
\mathbf{X}_\theta(\theta,\varphi)=\bigl(-R\sin\varphi\sin\theta,\;R\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr).

Passo 6

Vamos calcular as normas de \mathbf{X}_\varphi e \mathbf{X}_\theta e o produto escalar entre eles, para facilitar \lVert \mathbf{X}_\varphi\times\mathbf{X}_\theta\rVert. Primeiro a norma ao quadrado de \mathbf{X}_\varphi:
\lVert\mathbf{X}_\varphi\rVert^{2}=R^{2}\bigl(\cos^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cos^{2}\varphi\sin^{2}\theta+\sin^{2}\varphi\bigr) =R^{2}\bigl(\cos^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\sin^{2}\varphi\bigr).
Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtemos
\lVert\mathbf{X}_\varphi\rVert^{2}=R^{2}\bigl(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\bigr)=R^{2}.
Portanto
\lVert\mathbf{X}_\varphi\rVert=R.
Agora a norma de \mathbf{X}_\theta:
\lVert\mathbf{X}_\theta\rVert^{2}=R^{2}\sin^{2}\varphi\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr)=R^{2}\sin^{2}\varphi,
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\lVert\mathbf{X}_\theta\rVert=R\sin\varphi.
O produto escalar \mathbf{X}_\varphi\cdot\mathbf{X}_\theta é
\mathbf{X}_\varphi\cdot\mathbf{X}_\theta =R^{2}\bigl(\cos\varphi\cos\theta\cdot(-\sin\varphi\sin\theta)+\cos\varphi\sin\theta\cdot\sin\varphi\cos\theta+(-\sin\varphi)\cdot 0\bigr)=0.
Portanto \mathbf{X}_\varphi e \mathbf{X}_\theta são ortogonais.

Passo 7

Como \mathbf{X}_\varphi e \mathbf{X}_\theta são ortogonais, a norma do produto vetorial é simplesmente o produto das normas:
\bigl\lVert\mathbf{X}_\varphi\times\mathbf{X}_\theta\bigr\rVert=\lVert\mathbf{X}_\varphi\rVert\;\lVert\mathbf{X}_\theta\rVert =R\cdot R\sin\varphi=R^{2}\sin\varphi.
Assim o elemento de área é
dS=R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 8

Agora integramos sobre o domínio dos parâmetros para obter a área total A:
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =R^{2}\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right).
Calculamos as integrais simples:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
Portanto
A=R^{2}\cdot 2\pi\cdot 2=4\pi R^{2}.

Passo 9

Resumo prático para a prova: use a parametrização por ângulos \theta e \varphi como em \mathbf{X}(\theta,\varphi) acima; calcule \mathbf{X}_\theta e \mathbf{X}_\varphi, ache \lVert\mathbf{X}_\theta\times\mathbf{X}_\varphi\rVert (aqui dá R^{2}\sin\varphi) e integre sobre [0,2\pi]\times[0,\pi]. Não se assuste com cálculo vetorial — as contas simplificam bastante por causa das identidades trigonométricas. Você consegue! 😃

Resposta

\displaystyle \mathbf{X}(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr),\quad 0\le\theta\le2\pi,\\\ 0\le\varphi\le\pi.\n
\displaystyle 4\pi R^{2}

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