O enunciado pede: "Caso a convergência seja garantida, obtenha a solução do sistema linear por Gauss-Jacobi com erro absoluto inferior a 0,001". Ou seja, preciso:
Verificar se o método de Gauss–Jacobi converge para este sistema.
Aplicar o método de Gauss–Jacobi (iteração de Jacobi) até que o erro absoluto entre iterações seja menor que 0,001.
Entregar a solução aproximada (x,y,z).
As equações dadas são:
\begin{cases} 3x - y - z = 1,\\[4pt] - x + 3y + z = 3,\\[4pt] 2x + y + 4z = 7. \end{cases}]
Passo 2
Verificação de convergência (domínio de convergência simples e prático): cheque de dominância diagonal por linhas. Se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi converge.
Calcule a soma dos módulos dos elementos não-diagonais em cada linha e compare com o módulo do elemento diagonal:
Linha 1: |3| \overset{?}{>} |-1|+|-1|. Ou seja 3 > 1 + 1 = 2. Verdadeiro.
Linha 2: |3| \overset{?}{>} |-1|+|1|. Ou seja 3 > 1 + 1 = 2. Verdadeiro.
Linha 3: |4| \overset{?}{>} |2|+|1|. Ou seja 4 > 2 + 1 = 3. Verdadeiro.
Como cada linha tem dominância estrita, a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução do sistema. (Ótimo — estamos liberados para iterar!)
Passo 3
Derivação das fórmulas de iteração de Jacobi (para aprender direitinho como aplicar na prova).
Isolamos cada variável em sua própria equação (usar sempre os termos das outras variáveis com valores da iteração anterior):
Da primeira equação:
3x - y - z = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1+y+z}{3}.
Da segunda:
- x + 3y + z = 3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3 + x - z}{3}.
Da terceira:
2x + y + 4z = 7 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{7 - 2x - y}{4}.
Regra do Jacobi: ao calcular a nova aproximação (x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)}) usamos sempre os valores da iteração anterior (x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}) no lado direito. Ou seja, as fórmulas de iteração são:
O erro máximo é \approx0,00081804, que é menor que 0,001. Portanto o critério de parada foi satisfeito na iteração 8.
Passo 12
Conclusão e interpretação final (se acalme, você chegou lá!).
O método de Gauss–Jacobi converge porque A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Implementando as iterações a partir de (0,0,0) e aplicando o critério de erro máximo entre iterações <0,001, obteve-se convergência na oitava iteração, com a aproximação: