Caso a convergência seja garantida, obtenha a solução do sistema linear por Gauss-Jacobi com erro absoluto inferior a 0,001:
\left\{\begin{array}{c} 3 x-y-z=1 \\\\ -x+3 y+z=3 \\\\ 2 x+y+4 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Caso a convergência seja garantida, obtenha a solução do sistema linear por Gauss-Jacobi com erro absoluto inferior a 0,001". Ou seja, preciso:
  • Verificar se o método de Gauss–Jacobi converge para este sistema.
  • Aplicar o método de Gauss–Jacobi (iteração de Jacobi) até que o erro absoluto entre iterações seja menor que 0,001.
  • Entregar a solução aproximada (x,y,z).
As equações dadas são:
\begin{cases} 3x - y - z = 1,\\[4pt] - x + 3y + z = 3,\\[4pt] 2x + y + 4z = 7. \end{cases}]

Passo 2

Verificação de convergência (domínio de convergência simples e prático): cheque de dominância diagonal por linhas. Se a matriz dos coeficientes for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi converge.
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}3 & -1 & -1\\\\ -1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix}.
Calcule a soma dos módulos dos elementos não-diagonais em cada linha e compare com o módulo do elemento diagonal:
  • Linha 1: |3| \overset{?}{>} |-1|+|-1|. Ou seja 3 > 1 + 1 = 2. Verdadeiro.
  • Linha 2: |3| \overset{?}{>} |-1|+|1|. Ou seja 3 > 1 + 1 = 2. Verdadeiro.
  • Linha 3: |4| \overset{?}{>} |2|+|1|. Ou seja 4 > 2 + 1 = 3. Verdadeiro.
Como cada linha tem dominância estrita, a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o método de Gauss–Jacobi converge para a solução do sistema. (Ótimo — estamos liberados para iterar!)

Passo 3

Derivação das fórmulas de iteração de Jacobi (para aprender direitinho como aplicar na prova).
Isolamos cada variável em sua própria equação (usar sempre os termos das outras variáveis com valores da iteração anterior):
Da primeira equação:
3x - y - z = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1+y+z}{3}.
Da segunda:
- x + 3y + z = 3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3 + x - z}{3}.
Da terceira:
2x + y + 4z = 7 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{7 - 2x - y}{4}.
Regra do Jacobi: ao calcular a nova aproximação (x^{(k+1)},y^{(k+1)},z^{(k+1)}) usamos sempre os valores da iteração anterior (x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}) no lado direito. Ou seja, as fórmulas de iteração são:
x^{(k+1)} = \frac{1 + y^{(k)} + z^{(k)}}{3},\qquad y^{(k+1)} = \frac{3 + x^{(k)} - z^{(k)}}{3},\qquad z^{(k+1)} = \frac{7 - 2x^{(k)} - y^{(k)}}{4}.
Critério de parada que usarei: erro absoluto máximo entre iterações consecutivas, isto é
\max\big\{|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|,\;|z^{(k+1)}-z^{(k)}|\big\} < 0,001.
Esse é um critério prático e comum em provas.

Passo 4

Escolha da aproximação inicial e primeira iteração.
Vou escolher a aproximação inicial usual (x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(0,0,0).
Aplicando as fórmulas:
x^{(1)} = \frac{1+0+0}{3}=\frac{1}{3}=0,333333\ldots,
y^{(1)} = \frac{3+0-0}{3}=1,
z^{(1)} = \frac{7-0-0}{4}=\frac{7}{4}=1,75.
Portanto
(x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})=\left(\tfrac{1}{3},\,1,\,\tfrac{7}{4}\right)\approx(0,333333,\;1,\;1,75).

Passo 5

Segunda iteração ( k=1\to2) usando somente valores da iteração anterior:
Usando x^{(1)}=\tfrac{1}{3},\;y^{(1)}=1,\;z^{(1)}=\tfrac{7}{4}:
x^{(2)}=\frac{1+y^{(1)}+z^{(1)}}{3}=\frac{1+1+\tfrac{7}{4}}{3}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=1,25,
y^{(2)}=\frac{3+x^{(1)}-z^{(1)}}{3}=\frac{3+\tfrac{1}{3}-\tfrac{7}{4}}{3}=\frac{19}{36}\approx0,5277778,
z^{(2)}=\frac{7-2x^{(1)}-y^{(1)}}{4}=\frac{7-2\cdot\tfrac{1}{3}-1}{4}=\frac{4}{3}\approx1,3333333.
Assim
(x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)})\approx(1,25,\;0,5277778,\;1,3333333).

Passo 6

Terceira iteração ( k=2\to3):
Usando os valores de k=2,
x^{(3)}=\frac{1+y^{(2)}+z^{(2)}}{3}=\frac{1+\tfrac{19}{36}+\tfrac{4}{3}}{3}=\frac{103}{108}\approx0,9537037,
y^{(3)}=\frac{3+x^{(2)}-z^{(2)}}{3}=\frac{3+ \tfrac{5}{4}-\tfrac{4}{3}}{3}=\frac{35}{36}\approx0,9722222,
z^{(3)}=\frac{7-2x^{(2)}-y^{(2)}}{4}=\frac{7-2\cdot\tfrac{5}{4}-\tfrac{19}{36}}{4}=\frac{143}{144}\approx0,9930556.
Logo
(x^{(3)},y^{(3)},z^{(3)})\approx(0,9537037,\;0,9722222,\;0,9930556).

Passo 7

Quarta iteração ( k=3\to4):
Usando os valores de k=3,
x^{(4)}=\frac{1+y^{(3)}+z^{(3)}}{3}=\frac{1+\tfrac{35}{36}+\tfrac{143}{144}}{3}=\frac{427}{432}\approx0,9884259,
y^{(4)}=\frac{3+x^{(3)}-z^{(3)}}{3}=\frac{1279}{1296}\approx0,9868827,
z^{(4)}=\frac{7-2x^{(3)}-y^{(3)}}{4}=\frac{445}{432}\approx1,0300926.
Comparando com a iteração anterior ( k=3), as diferenças são:
|x^{(4)}-x^{(3)}|\approx0,0347222,\quad |y^{(4)}-y^{(3)}|\approx0,0146605,\quad |z^{(4)}-z^{(3)}|\approx0,0370370.
O erro máximo ainda é \approx0,0370370>0,001. Continuamos.

Passo 8

Quinta iteração ( k=4\to5):
Usando x^{(4)}, y^{(4)}, z^{(4)},
x^{(5)}=\frac{1+y^{(4)}+z^{(4)}}{3}\approx1,00565843,
y^{(5)}=\frac{3+x^{(4)}-z^{(4)}}{3}\approx0,98611111,
z^{(5)}=\frac{7-2x^{(4)}-y^{(4)}}{4}\approx1,00906636.
Diferenças em relação a k=4:
|x^{(5)}-x^{(4)}|\approx0,0172325,\quad |y^{(5)}-y^{(4)}|\approx0,0007716,\quad |z^{(5)}-z^{(4)}|\approx0,0210262.
Erro máximo \approx0,0210262>0,001. Ainda não parou.

Passo 9

Sexta iteração ( k=5\to6):
Com x^{(5)},y^{(5)},z^{(5)},
x^{(6)}=\frac{1+y^{(5)}+z^{(5)}}{3}\approx0,99839249,
y^{(6)}=\frac{3+x^{(5)}-z^{(5)}}{3}\approx0,99886402,
z^{(6)}=\frac{7-2x^{(5)}-y^{(5)}}{4}\approx1,00064301.
Diferenças:
|x^{(6)}-x^{(5)}|\approx0,00726594,\quad |y^{(6)}-y^{(5)}|\approx0,01275291,\quad |z^{(6)}-z^{(5)}|\approx0,00842335.
Erro máximo \approx0,01275291>0,001. Continuamos.

Passo 10

Sétima iteração ( k=6\to7):
Com x^{(6)},y^{(6)},z^{(6)},
x^{(7)}=\frac{1+y^{(6)}+z^{(6)}}{3}\approx0,99983568,
y^{(7)}=\frac{3+x^{(6)}-z^{(6)}}{3}\approx0,99924983,
z^{(7)}=\frac{7-2x^{(6)}-y^{(6)}}{4}\approx1,00108775.
Diferenças:
|x^{(7)}-x^{(6)}|\approx0,00144319,\quad |y^{(7)}-y^{(6)}|\approx0,00038581,\quad |z^{(7)}-z^{(6)}|\approx0,00044474.
Erro máximo \approx0,00144319>0,001. Quase lá — mais uma iteração.

Passo 11

Oitava iteração ( k=7\to8) e teste de parada:
Com x^{(7)},y^{(7)},z^{(7)},
x^{(8)}=\frac{1+y^{(7)}+z^{(7)}}{3}\approx1,00011253,
y^{(8)}=\frac{3+x^{(7)}-z^{(7)}}{3}\approx0,99958264,
z^{(8)}=\frac{7-2x^{(7)}-y^{(7)}}{4}\approx1,00026970.
Diferenças entre iterações 8 e 7:
|x^{(8)}-x^{(7)}|\approx0,00027685,\quad |y^{(8)}-y^{(7)}|\approx0,00033282,\quad |z^{(8)}-z^{(7)}|\approx0,00081804.
O erro máximo é \approx0,00081804, que é menor que 0,001. Portanto o critério de parada foi satisfeito na iteração 8.

Passo 12

Conclusão e interpretação final (se acalme, você chegou lá!).
O método de Gauss–Jacobi converge porque A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Implementando as iterações a partir de (0,0,0) e aplicando o critério de erro máximo entre iterações <0,001, obteve-se convergência na oitava iteração, com a aproximação:
(x,y,z)\approx(1,00011253,\;0,99958264,\;1,00026970).
Esses valores satisfazem o erro absoluto pedido. Parabéns — você tem a solução aproximada dentro da tolerância pedida. Vai com fé na prova!

Resposta

x \approx 1,00011253
y \approx 0,99958264
z \approx 1,00026970

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