\begin{cases} 10x + y + z = 12,\\[4pt] 2x + 8y - 4z = 6,\\[4pt] x + 5y + 9z = 15, \end{cases}
e pede: aplicar o método de Gauss–Jacobi para obter a solução aproximada com quatro casas decimais (arredondamento). Vou interpretar a exigência de “quatro decimais” como precisão de ordem \varepsilon = 10^{-4} para o critério de parada (ou seja, paramos quando a máxima diferença entre iterações sucessivas for ≤ 10^{-4}). O que precisamos retornar é a solução aproximada (x,y,z) com quatro casas decimais.]
Passo 2
O método de Gauss–Jacobi: ideia e fórmulas passo a passo\n
Dividimos cada equação isolando a incógnita do termo diagonal (o coeficiente da própria incógnita). Chamando a iteração atual de k e a próxima de k+1, a atualização componente a componente é feita usando somente valores da iteração k. Em forma matricial a iteração é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(k)}\bigr),
onde D é a diagonal da matriz dos coeficientes e L+U são os termos fora da diagonal.\n
Para o nosso sistema, isolamos cada variável:
\begin{aligned} x &= \frac{12 - y - z}{10},\\[4pt] y &= \frac{6 - 2x + 4z}{8},\\[4pt] z &= \frac{15 - x - 5y}{9}. \end{aligned}
Estas são as fórmulas de iteração component-wise. Na notação de iterações:
Convergência (por que o método vai funcionar aqui)\n
Uma condição suficiente para a convergência do método de Jacobi é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha o valor absoluto do coeficiente diagonal é maior que a soma dos absolutos dos demais coeficientes da mesma linha.\n
Para nosso sistema as diagonais e somas dos demais coeficientes são:\n
linha 1: coef. diagonal =10, soma dos outros |1|+|1|=2, e 10>2;\n
linha 2: coef. diagonal =8, soma |2|+|{-4}|=6, e 8>6;\n
linha 3: coef. diagonal =9, soma |1|+|5|=6, e 9>6.\n
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método de Gauss–Jacobi converge para a solução única.
Passo 4
Critério de parada e escolha de chute inicial\n
Vou usar o chute inicial padrão \;x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.\n
Em todos os cálculos das iterações eu mantive precisão interna suficiente e, para leitura, vou apresentar os valores arredondados a quatro casas decimais. A verificação do critério foi feita com precisão adequada; quando o critério foi atingido eu então arredondei os componentes finais para quatro casas.
Passo 5
Execução das iterações (mostrando valores arredondados para leitura)\n
Iteração 1:
(números mostrados com mais dígitos para visualizar o movimento fino).
Passo 7
Verificação do critério e conclusão do processo\n
Ao comparar as iterações 14 e 15 usando precisão apropriada, a máxima diferença entre componentes ficou abaixo de 10^{-4}. Assim o critério \varepsilon\le 10^{-4} foi satisfeito na 15ª iteração (conforme expliquei, os valores foram apresentados arredondados para 4 casas para facilitar a leitura).\n
Como resultado final, arredondando os componentes para quatro casas decimais conforme pedido, obtemos a solução aproximada.