Para o sistema abaixo, determine a solução por Gauss-Jacobi, com quatro decimais, com arredondamento e \varepsilon \leq 0,0 o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 10 x+y+z=12 \\\\ 2 x+8 y-4 z=6 \\\ x+5 y+9 z=15 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 10x + y + z = 12,\\[4pt] 2x + 8y - 4z = 6,\\[4pt] x + 5y + 9z = 15, \end{cases}
e pede: aplicar o método de Gauss–Jacobi para obter a solução aproximada com quatro casas decimais (arredondamento). Vou interpretar a exigência de “quatro decimais” como precisão de ordem \varepsilon = 10^{-4} para o critério de parada (ou seja, paramos quando a máxima diferença entre iterações sucessivas for ≤ 10^{-4}). O que precisamos retornar é a solução aproximada (x,y,z) com quatro casas decimais.]

Passo 2

O método de Gauss–Jacobi: ideia e fórmulas passo a passo\n
  • Dividimos cada equação isolando a incógnita do termo diagonal (o coeficiente da própria incógnita). Chamando a iteração atual de k e a próxima de k+1, a atualização componente a componente é feita usando somente valores da iteração k. Em forma matricial a iteração é
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(k)}\bigr),
onde D é a diagonal da matriz dos coeficientes e L+U são os termos fora da diagonal.\n
  • Para o nosso sistema, isolamos cada variável:
\begin{aligned} x &= \frac{12 - y - z}{10},\\[4pt] y &= \frac{6 - 2x + 4z}{8},\\[4pt] z &= \frac{15 - x - 5y}{9}. \end{aligned}
Estas são as fórmulas de iteração component-wise. Na notação de iterações:
\begin{aligned} x^{(k+1)} &= \frac{12 - y^{(k)} - z^{(k)}}{10},\\[4pt] y^{(k+1)} &= \frac{6 - 2x^{(k)} + 4z^{(k)}}{8},\\[4pt] z^{(k+1)} &= \frac{15 - x^{(k)} - 5y^{(k)}}{9}. \end{aligned}]

Passo 3

Convergência (por que o método vai funcionar aqui)\n
  • Uma condição suficiente para a convergência do método de Jacobi é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha o valor absoluto do coeficiente diagonal é maior que a soma dos absolutos dos demais coeficientes da mesma linha.\n
  • Para nosso sistema as diagonais e somas dos demais coeficientes são:\n
    • linha 1: coef. diagonal =10, soma dos outros |1|+|1|=2, e 10>2;\n
    • linha 2: coef. diagonal =8, soma |2|+|{-4}|=6, e 8>6;\n
    • linha 3: coef. diagonal =9, soma |1|+|5|=6, e 9>6.\n
      Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método de Gauss–Jacobi converge para a solução única.

Passo 4

Critério de parada e escolha de chute inicial\n
  • Vou usar o chute inicial padrão \;x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.\n
  • Critério de parada: parar quando
\max\bigl(|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|,\;|z^{(k+1)}-z^{(k)}|\bigr)\le 10^{-4}.
  • Em todos os cálculos das iterações eu mantive precisão interna suficiente e, para leitura, vou apresentar os valores arredondados a quatro casas decimais. A verificação do critério foi feita com precisão adequada; quando o critério foi atingido eu então arredondei os componentes finais para quatro casas.

Passo 5

Execução das iterações (mostrando valores arredondados para leitura)\n
Iteração 1:
(x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})=(1,2000,\;0,7500,\;1,6667).
Iteração 2:
(x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)})=(0,9583,\;1,2833,\;1,1167).
Iteração 3:
(x^{(3)},y^{(3)},z^{(3)})=(0,9600,\;1,0688,\;0,8472).
Iteração 4:
(x^{(4)},y^{(4)},z^{(4)})=(1,0084,\;0,9336,\;0,9663).
Iteração 5:
(x^{(5)},y^{(5)},z^{(5)})=(1,0100,\;0,9810,\;1,0359).

Passo 6

Continuação das iterações até o critério\n
Iteração 6:
(x^{(6)},y^{(6)},z^{(6)})=(0,9983,\;1,0155,\;1,0094).
Iteração 7:
(x^{(7)},y^{(7)},z^{(7)})=(0,9975,\;1,0051,\;0,9916).
Iteração 8:
(x^{(8)},y^{(8)},z^{(8)})=(1,0003,\;0,9964,\;0,9974).
Iteração 9:
(x^{(9)},y^{(9)},z^{(9)})=(1,0006,\;0,9986,\;1,0020).
Iteração 10:
(x^{(10)},y^{(10)},z^{(10)})=(0,9999,\;1,0008,\;1,0007).
Iteração 11:
(x^{(11)},y^{(11)},z^{(11)})=(0,9998,\;1,0004,\;0,9995).
Iteração 12:
(x^{(12)},y^{(12)},z^{(12)})=(0,9999,\;0,9998,\;0,9998).
Iteração 13:
(x^{(13)},y^{(13)},z^{(13)})=(1,0000,\;0,9999,\;1,0001).
Iteração 14:
(x^{(14)},y^{(14)},z^{(14)})=(1,0000,\;1,0000,\;1,0000).
Iteração 15:
(x^{(15)},y^{(15)},z^{(15)})\approx(0,999992,\;1,000018,\;0,999974)
(números mostrados com mais dígitos para visualizar o movimento fino).

Passo 7

Verificação do critério e conclusão do processo\n
  • Ao comparar as iterações 14 e 15 usando precisão apropriada, a máxima diferença entre componentes ficou abaixo de 10^{-4}. Assim o critério \varepsilon\le 10^{-4} foi satisfeito na 15ª iteração (conforme expliquei, os valores foram apresentados arredondados para 4 casas para facilitar a leitura).\n
  • Como resultado final, arredondando os componentes para quatro casas decimais conforme pedido, obtemos a solução aproximada.

Resposta

x = 1,0000
y = 1,0000
z = 1,0000

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