Achar as soluções particulares das seguintes equações, que satisfaçam as condições de contorno indicadas:
y^{\prime} \sin x=y \ln y ;\quad y=1 quando x=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'(x)\sin x = y(x)\ln y(x)
e pede uma solução particular que satisfaça a condição de contorno \;y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Informações relevantes fornecidas:
\;y'(x) é a derivada de y em relação a x; a função \ln y exige que y>0 (no contexto real); o ponto inicial é x=\tfrac{\pi}{2} com valor y=1.
A equação é uma equação diferencial de primeira ordem onde podemos tentar separar variáveis (quando for válido).

Passo 2

Observação importante sobre soluções constantes: antes de separar, verifique se existe solução constante. Se y(x)\equiv 1 então \ln y= \ln 1=0 e o lado direito da equação é y\ln y=1\cdot 0=0. O lado esquerdo é y'\sin x=0\cdot\sin x=0. Portanto y\equiv 1 é solução da equação e também satisfaz a condição y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Guardaremos essa solução como candidata final, mas vamos também encontrar a família geral de soluções não constantes (para entender o todo).

Passo 3

Para buscar soluções não constantes, assumimos y(x)>0 e \ln y(x)\neq 0 em um intervalo (assim podemos dividir por y e por \ln y). Reescrevendo a equação:
\frac{dy}{dx}\sin x = y\ln y.
Isolando \dfrac{dy}{dx} e separando variáveis obtemos
\frac{1}{y\ln y}\,dy = \frac{1}{\sin x}\,dx.
Aqui fizemos a operação legítima sempre que y>0 e \ln y\neq 0, e também requeremos \sin x\neq 0 no ponto da integração (ou, na prática, trabalhamos em intervalos onde \sin x não se anula).

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo usamos a substituição u=\ln y; então du=\dfrac{1}{y}\,dy, portanto
\int \frac{1}{y\ln y}\,dy = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_1 = \ln|\ln y| + C_1.
Para o lado direito usamos a antiderivada conhecida de \csc x:
\int \frac{1}{\sin x}\,dx = \int \csc x\,dx = \ln\bigl|\tan\frac{x}{2}\bigr| + C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só) temos
\ln|\ln y| = \ln\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr| + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados:
|\ln y| = e^{C}\Bigl|\tan\frac{x}{2}\Bigr|.
Escrevendo K=e^{C}\ge 0 e permitindo o sinal em \ln y (podemos incorporar o sinal em uma constante real A), obtemos a forma mais simples da família de soluções não constantes:
\ln y = A\;\tan\frac{x}{2},
onde A é uma constante real (inclui o caso A=0). Portanto
y(x)=\exp\!\bigl(A\tan\frac{x}{2}\bigr).
Lembre-se: essa dedução exigia y>0 (ok para essa expressão) e que estamos em intervalos onde \tan\frac{x}{2} e \sin x estão bem definidos adequadamente.

Passo 6

Agora aplicamos a condição de contorno \;y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Substituindo na fórmula geral:
1 = y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \exp\!\Bigl(A\tan\frac{\pi}{4}\Bigr) = \exp(A\cdot 1) = e^{A}.
Daqui segue e^{A}=1, logo A=0. Isso dá y(x)=\exp(0)=1 para todo x no domínio considerado. Note que este resultado coincide com a solução constante que já havíamos verificado no Passo 2.

Passo 7

Conclusão e observações finais: a família geral é y(x)=\exp\!\bigl(A\tan\frac{x}{2}\bigr). A condição inicial força A=0, portanto a solução particular que satisfaz y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 é a solução constante y(x)\equiv 1. Esta solução é definida globalmente e também respeita a exigência y>0 imposta pelo logaritmo.

Resposta

y(x)=1

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