Questão 5.(2.0) a) Determine os pontos críticos da função
f(x, y)=e^x-y(x^2-2 y^2)
b) Classifique-os como máximo ou mínimo local.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^x-yl(x^2-2y^2r)
e pede (a) encontrar os pontos críticos, i.e. onde nabla f=(0,0), e (b) classificá-los usando o Hessiano para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais. Como
f(x,y)=e^x-y,(x^2-2y^2),
temos, usando produto e cadeia,
fx=e^x-y(x^2-2y^2)+e^x-ycdot2x =e^x-yl(x^2-2y^2+2xr),
fy=-e^x-y(x^2-2y^2)+e^x-ycdot(-4y) =e^x-yl(-x^2+2y^2-4yr)
Para pontos críticos impomos fx=0 e fy=0. Como e^x-yneq0, basta resolver
x^2-2y^2+2x=0, -,x^2+2y^2-4y=0

Passo 3

Das duas equações notamos que a segunda é x^2-2y^2+4y=0. Subtraindo a primeira obtemos
(x^2-2y^2+4y)-(x^2-2y^2+2x)=0 ;Longrightarrow;4y-2x=0 ;Longrightarrow;x=2y
Substituindo x=2y em x^2-2y^2+2x=0
(2y)^2-2y^2+2cdot2y=4y^2-2y^2+4y =2y(y+2)=0 ;Longrightarrow;y=0 ou y=-2
Logo os pontos críticos são
(x,y)=(0,0) e (x,y)=(-4,-2)

Passo 4

Para classificar usamos o Hessiano . Calculando derivadas de segunda ordem:

Passo 5

Avalie H em cada ponto e calcule o determinante D=fxxfyy-fxy^2.
Em (0,0): e^0-0=1 e
fxx(0,0)=2, fxy(0,0)=0, fyy(0,0)=-4
D(0,0)=2cdot(-4)-0^2=-8<0
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
Em (-4,-2): e^-4-(-2)=e^-2 e
fxx=-6e^-2, fxy=8e^-2, fyy=-12e^-2
D(-4,-2)=(-6e^-2)(-12e^-2)-(8e^-2)^2 =72e^-4-64e^-4=8e^-4>0
e fxx(-4,-2)=-6e^-2<0. Como D>0 e fxx<0, é máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) e (-4,-2).
(0,0) é ponto de sela.
(-4,-2) é máximo local.

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