Questão 5.(2.0) a) Determine os pontos críticos da função
b) Classifique-os como máximo ou mínimo local.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) encontrar os pontos críticos, i.e. onde
, e (b) classificá-los usando o Hessiano para ver se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais. Como
temos, usando produto e cadeia,
Para pontos críticos impomos
e
. Como
, basta resolver
Passo 3
Das duas equações notamos que a segunda é
x^2-2y^2+4y=0 . Subtraindo a primeira obtemos
Substituindo
x=2y em
x^2-2y^2+2x=0 dá
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos o Hessiano . Calculando derivadas de segunda ordem:
Passo 5
Avalie
H em cada ponto e calcule o determinante
D=fxxfyy-fxy^2 .
Em
(0,0) :
e^0-0=1 e
Como
D<0 ,
(0,0) é ponto de sela.
Em
(-4,-2) :
e^-4-(-2)=e^-2 e
e
fxx(-4,-2)=-6e^-2<0 . Como
D>0 e
fxx<0 , é máximo local.
Resposta
Os pontos críticos são
(0,0) e
(-4,-2) .
(0,0) é ponto de sela.
(-4,-2) é máximo local.