Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
x+1x^2-25 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x+1x^2-25 <= 0
Isso é uma inequação de sinais de uma fração. Vamos precisar de (i) domínio da expressão, (ii) pontos em que numerador ou denominador se anulam e (iii) análise de sinal em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Determinar o domínio requer que o denominador não seja zero:
x^2-25 neq 0
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x neq 5, x neq -5

Passo 3

Encontrar os pontos críticos onde o numerador ou o denominador se anulam:
— Numerador x+1=0 \Rightarrow x=-1.
— Denominador x^2-25=0 \Rightarrow x=pm5.
Ordenando na reta real, temos as divisões em intervalos pelos pontos -5, -1 e 5.

Passo 4

Analisar o sinal de x+1x^2-25 em cada intervalo (lembre que não podemos usar x=pm5):
— Para x< -5:
Numerador x+1<0, denominador x^2-25>0 \Rightarrow fração <0. Atende <=0.
— Para -5<x< -1:
Numerador x+1<0, denominador x^2-25<0 \Rightarrow fração >0. Não atende.
— Em x=-1:
Numerador 0, denominador (-1)^2-25<0 \Rightarrow fração =0. Atende (podemos incluir x=-1).
— Para -1<x<5:
Numerador x+1>0, denominador x^2-25<0 \Rightarrow fração <0. Atende.
— Para x>5:
Numerador x+1>0, denominador x^2-25>0 \Rightarrow fração >0. Não atende.

Passo 5

Combinando os trechos que atendem <=0 e lembrando de excluir x=pm5, o conjunto-solução é
(-infty,-5);cup;[-1,5)

Resposta

(-infty,-5)cup[-1,5)

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