Questão 5. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações (x, y, z)=(0,0,0)+ t(1,2,4) e (x, y, z)=(1,0,-2)+t(-1,-1,-1), com t \in \mathbb{R}. As trajetórias são concorrentes? Pode haver colisão das partículas em algum instante?

Passo 1

O enunciado dá duas partículas em movimento retilíneo em \mathbb{R}^3. A primeira tem posição
r_1(t) = (0,0,0) + t\,(1,2,4) = (t,2t,4t),
a segunda
r_2(t) = (1,0,-2) + t\,(-1,-1,-1) = (1-t,\,-t,\,-2 - t),
com t\in\mathbb{R}. Precisamos (a) verificar se as trajetórias (as retas) se cruzam em algum ponto (concorrência) e (b) checar se elas ocupam esse ponto ao mesmo tempo (colisão).

Passo 2

Para ver se as retas se intersectam, introduzimos parâmetros distintos t_1 e t_2 e igualamos as posições:
(t_1,2t_1,4t_1) = (1 - t_2,\,-t_2,\,-2 - t_2).
Isto gera o sistema em bloco:
\begin{cases} t_1 = 1 - t_2,\\\\ 2t_1 = -t_2,\\\\ 4t_1 = -2 - t_2. \end{cases}
Da primeira equação vem
t_2 = 1 - t_1.
Substituindo na segunda:
2t_1 = -(1 - t_1)\implies 2t_1 = -1 + t_1\implies t_1 = -1.
Logo
t_2 = 1 - (-1) = 2.
Verificando na terceira:
4(-1) = -4,\quad -2 - 2 = -4,
coerente. Portanto as retas se cruzam no ponto
r_1(-1) = (-1,\,-2,\,-4),
isto é, são concorrentes.

Passo 3

Para haver colisão, ambas as partículas devem estar no mesmo ponto no mesmo instante, ou seja, usar o mesmo parâmetro t\): \[(t,2t,4t) = (1 - t,\,-t,\,-2 - t).
Isso gera
\begin{cases} t = 1 - t,\\\\ 2t = -t,\\\\ 4t = -2 - t. \end{cases}
Da primeira equação sai
t = \tfrac12,
da segunda
3t = 0\implies t = 0.
Há contradição, pois não existe (t] satisfazendo as duas simultaneamente. Logo não há colisão.

Resposta

As trajetórias são concorrentes (intersectam-se em (-1,-2,-4)), mas não ocorre colisão pois chegam a esse ponto em instantes distintos.

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