Questão 5. Duas partículas realizam movimentos descritos pelas equações (x, y, z)=(0,0,0)+t(1,2,4) e (x, y, z)=(1,0,-2)+t(-1,-1,-1), com t \in \mathbb{R}. As trajetórias são concorrentes? Pode haver colisão das partículas em algum instante?
Passo 1
O enunciado dá duas partículas em movimento retilíneo em \mathbb{R}^3. A primeira tem posição
com t\in\mathbb{R}. Precisamos (a) verificar se as trajetórias (as retas) se cruzam em algum ponto (concorrência) e (b) checar se elas ocupam esse ponto ao mesmo tempo (colisão).
Passo 2
Para ver se as retas se intersectam, introduzimos parâmetros distintos t_1 e t_2 e igualamos as posições:
Para haver colisão, ambas as partículas devem estar no mesmo ponto no mesmo instante, ou seja, usar o mesmo parâmetro t\):
\[(t,2t,4t) = (1 - t,\,-t,\,-2 - t).
Isso gera
\begin{cases} t = 1 - t,\\\\ 2t = -t,\\\\ 4t = -2 - t. \end{cases}
Da primeira equação sai
t = \tfrac12,
da segunda
3t = 0\implies t = 0.
Há contradição, pois não existe (t] satisfazendo as duas simultaneamente. Logo não há colisão.
Resposta
As trajetórias são concorrentes (intersectam-se em (-1,-2,-4)), mas não ocorre colisão pois chegam a esse ponto em instantes distintos.