Questão 2. Encontre condições sobre o vetor \vec{v}=(a, b, c) para que exista uma reta na direção de \vec{v} que intersecte simultaneamente as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\\ y=5-t \\\ z=3+t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=h \\\ y=1-h \\\ z=-2\end{array}, h \in\right. \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede condições sobre \vec v=(a,b,c)\) para que exista uma reta de direção \(\vec v\) que corte simultaneamente as retas \[r:\begin{cases} x=2+t\\\ y=5-t\\\ z=3+t \end{cases},\;t\in\R
e
s:\begin{cases} x=h\\\ y=1-h\\\ z=-2 \end{cases},\;h\in\R.
O conteúdo principal é estudar interseção de retas no espaço usando parametrizações e o fato de que, se dois pontos pertencem à reta de direção \vec v\], o vetor que os une é paralelo a \(\vec v.

Passo 2

Sejam P_r=r(t)=(2+t,\;5-t,\;3+t) e P_s=s(h)=(h,\;1-h,\;-2) os pontos de interseção dessa reta (de direção \vec v) com r e com s. Como esses dois pontos pertencem a uma mesma reta de direção \vec v, existe escalar k\in\R tal que
P_r - P_s = k\,(a,b,c).
Escrevendo coordenada a coordenada, temos o sistema
\begin{cases} 2 + t - h = k\,a,\\\\ 5 - t - (1 - h) = k\,b,\\\\ 3 + t -(-2) = k\,c. \end{cases}
Simplificando a segunda e a terceira equações:
\begin{cases} 2 + t - h = k\,a,\\\\ 4 - t + h = k\,b,\\\\ 5 + t = k\,c. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas primeiras equações obtém-se
(2+t-h) + (4 - t + h) = k\,(a+b) \;\Longrightarrow\; 6 = k\,(a+b).
Para existir k finito é preciso
a + b \neq 0,
e então
k = \frac{6}{a+b}.
Não surgem outras condições adicionais (as equações para t e h ficam compatíveis sem impor restrição extra em c).

Resposta

A condição necessária e suficiente para que exista uma reta de direção \vec v=(a,b,c) que interseque simultaneamente r e s é
\boxed{a + b \neq 0.}

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