Questão 3: Determine a resposta de entrada nula do circuito cujas raízes da equação características säo das por \lambda 1=\lambda 2=-1 para v_{\mathrm{c}}\left(0^{-}\right)=5 \mathrm{~V} e \mathrm{d} v_{c}\left(0^{-}\right) / \mathrm{dt}=1 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede a resposta de entrada nula de v_c(t) para um circuito cuja equação característica tem raízes duplas \lambda_1=\lambda_2=-1. Sabemos as condições iniciais em t=0^-:
v_c(0^-)=5\\ \mathrm V,\qquad \frac{\mathrm d v_c}{\mathrm d t}(0^-)=1\\ \mathrm V/s.
Como não há excitação (entrada nula), a solução segue a parte homogênea de um sistema de segunda ordem com raiz dupla, que é da forma (C_1+C_2\,t)e^{-t}.

Passo 2

Escrevemos a solução geral homogênea:
v_c(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-t}.

Passo 3

Usamos a condição v_c(0)=v_c(0^-)=5. Em t=0:
v_c(0)=C_1\cdot e^0 = C_1 = 5.
Logo C_1=5.

Passo 4

Calculamos a derivada geral:
\frac{\mathrm d v_c}{\mathrm d t} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\bigl[(C_1 + C_2\,t)e^{-t}\bigr] = \bigl(C_2 - (C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{-t}.
Em t=0:
\frac{\mathrm d v_c}{\mathrm d t}(0)=\bigl(C_2 - C_1\bigr)e^0 = C_2 - C_1 =1.
Substituindo C_1=5 C_2-5=1, ou seja C_2=6.

Passo 5

Substituindo C_1=5 e C_2=6 na solução geral:
v_c(t) = (5 + 6\,t)e^{-t}.

Resposta

v_c(t) = (5 + 6\,t)\,e^{-t}\\ \mathrm V,\quad t\ge0.

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