Resolva as seguintes equações diferenciais considerando \mathrm{x}_{0}=0
(x+1) y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
(x+1)\,y''+y=0
em torno de x_{0}=0.
Conteúdo: método de série de potências para equações lineares de segunda ordem com coeficientes analíticos.

Passo 2

Supondo uma solução em série de potências em x=0, escrevemos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}.
Substituindo em (x+1)y''+y=0 temos
x\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} +\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Reindexando as potências de x e agrupando coeficientes de x^{k}, obtemos o sistema recursivo
Para k=0:
2\cdot1\,a_{2}+a_{0}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=-\frac{a_{0}}{2}.
Para k\ge1:
(k+2)(k+1)a_{k+2} +(k+1)k\,a_{k+1} +a_{k} =0
\Longrightarrow \quad a_{k+2} =-\frac{k}{k+2}\,a_{k+1} -\frac{1}{(k+2)(k+1)}\,a_{k}.

Passo 3

Escolhendo as duas condições iniciais livres a_{0} e a_{1}, calculamos alguns termos:
Se a_{0}=1,\;a_{1}=0 então
a_{2}=-\tfrac12,\quad a_{3}=\tfrac16,\quad a_{4}=-\tfrac1{24},\quad a_{5}=\tfrac1{60},\;\dots
daí
y_{1}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{5}}{60}+\cdots.
Se a_{0}=0,\;a_{1}=1 então
a_{2}=0,\quad a_{3}=-\tfrac16,\quad a_{4}=\tfrac1{12},\quad a_{5}=-\tfrac1{24},\;\dots
daí
y_{2}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{12}-\frac{x^{5}}{24}+\cdots.

Passo 4

A solução geral da equação é combinação linear das duas séries independentes:
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

\boxed{ y(x)=C_{1}\Bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{6}-\tfrac{x^{4}}{24}+\cdots\Bigr) +C_{2}\Bigl(x-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{4}}{12}-\cdots\Bigr) }.

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