Resolva as seguintes equações diferenciais considerando \mathrm{x}_{0}=0
\left(x^{2}-4\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\bigl(x^{2}-4\bigr)\,y''+3x\,y'+y=0
em torno de x_{0}=0.
Como x=0 não anula x^{2}-4, é um ponto ordinário e podemos buscar uma solução em série de potências
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k\,a_{k}\,x^{\,k-1}, \quad y''(x)=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,a_{k}\,x^{\,k-2}.
Multiplicamos em \bigl(x^{2}-4\bigr)y'':
(x^{2}-4)\,y''=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,a_{k}\,x^{k} \;-\;4\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,a_{k}\,x^{k-2}.
E escrevemos também
3x\,y'=3\sum_{k=1}^{\infty}k\,a_{k}\,x^{k}, \quad y=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}.

Passo 3

Reindexando todas as séries para potências x^{k} e somando-as, obtemos a condição de anular cada coeficiente de x^{k}:
k(k-1)a_{k}-4\,(k+2)(k+1)a_{k+2}+3k\,a_{k}+a_{k}=0 \quad\Longrightarrow\quad -4\,(k+2)(k+1)a_{k+2}+(k+1)^{2}a_{k}=0.
Dessa forma surge a recorrência
a_{k+2} =\frac{(k+1)^{2}}{4\,(k+2)(k+1)}\,a_{k} =\frac{k+1}{4\,(k+2)}\,a_{k}.

Passo 4

A recorrência separa as ordens pares e ímpares:
  • Para k=2m m\ge1:
a_{2m} =\frac{2m-1}{8m}\,a_{2m-2} \;\Rightarrow\; a_{2m} =a_{0}\prod_{j=1}^{m}\frac{2j-1}{8j} =\;a_{0}\;\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2m-1)}{8^{m}\,m!}.
  • Para k=2m+1 m\ge0:
a_{2m+3} =\frac{2m+2}{4\,(2m+3)}\,a_{2m+1} \;\Rightarrow\; a_{2m+1} =a_{1}\prod_{j=1}^{m}\frac{2j}{4\,(2j+1)} =\;a_{1}\;\frac{1\cdot2\cdot3\cdots m}{2^{m}\,(3\cdot5\cdots(2m+1))}.

Passo 5

As duas soluções fundamentais centrais em x=0 ficam
y_{1}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}\,x^{2m} =a_{0}\Bigl[1+\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{3}{128}x^{4}+\cdots\Bigr],
y_{2}(x) =\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m+1}\,x^{2m+1} =a_{1}\Bigl[x+\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{30}x^{5}+\cdots\Bigr].
Portanto, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,y_{1}(x)+C_{2}\,y_{2}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}\Bigl[1+\tfrac{1}{8}x^{2}+\tfrac{3}{128}x^{4}+\cdots\Bigr] \;+\; C_{2}\Bigl[x+\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{1}{30}x^{5}+\cdots\Bigr].

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