Resolva as seguintes equações diferenciais considerando
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
em torno de
.
Como não anula
, é um ponto ordinário e podemos buscar uma solução em série de potências
Como
Passo 2
Calculamos as derivadas em série:
Multiplicamos em
:
E escrevemos também
Passo 3
Reindexando todas as séries para potências
e somando-as, obtemos a condição de anular cada coeficiente de
:
Dessa forma surge a recorrência
Passo 4
A recorrência separa as ordens pares e ímpares:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
As duas soluções fundamentais centrais em
ficam
Portanto, a solução geral é