Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
\int_{-1}^{1} \frac{3}{t^{4}} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1}\frac{3}{t^{4}}\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Como a função \displaystyle \frac{3}{t^{4}} não está definida em t=0, teremos um caso de integral imprópria e precisaremos verificar se ela converge ao separar o intervalo em torno de 0.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes e escrevemos como limite:
\int_{-1}^{1}\frac{3}{t^{4}}\,dt =\lim_{\epsilon\to0^{+}}\Bigl(\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{3}{t^{4}}\,dt+\int_{\epsilon}^{1}\frac{3}{t^{4}}\,dt\Bigr).

Passo 3

Calculamos a primitiva de \displaystyle \frac{3}{t^{4}}.
\int \frac{3}{t^{4}}\,dt =3\int t^{-4}\,dt =3\cdot\frac{t^{-3}}{-3} =-\,t^{-3}.

Passo 4

Avaliamo­-a cada parte:
Para \int_{\epsilon}^{1}\frac{3}{t^{4}}\,dt,
\int_{\epsilon}^{1}\frac{3}{t^{4}}\,dt =\bigl[-\,t^{-3}\bigr]_{\epsilon}^{1} =-1 -\bigl(-\epsilon^{-3}\bigr) =-1 + \epsilon^{-3}.
Ao fazermos \epsilon\to0^{+}, o termo \epsilon^{-3}\to+\infty. Logo essa parte diverge. O mesmo acontece em \int_{-1}^{-\epsilon} (pela simetria e positividade do integrando).

Resposta

A integral é divergente e, portanto, não existe como número finito.

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