Questão 3: Determine a resposta do sistema representado pelo modelo abaixo quando a entrada x(t)=3 u(t).
\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -2 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ -2 \end{array}\right] \mathbf{u}(t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear invariante no tempo em forma de espaço de estados
\dot x(t)=A\,x(t)+B\,u(t)
com
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ -2&-3\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix},
e pede a resposta (os estados x_{1}(t),x_{2}(t)) quando a entrada é o degrau u(t)=3\,u(t), assumindo condições iniciais nulas. Vamos usar o método da soma da solução particular (estado estacionário) com a solução homogênea.

Passo 2

Para entrada constante u(t)=3, a solução particular (estado estacionário) satisfaz
A\,x_{\mathrm{ss}}+B\cdot3=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{\mathrm{ss}}=-A^{-1}B\cdot3.
Calculando A^{-1}:
\det A=2,\qquad A^{-1}=\tfrac1{2}\begin{pmatrix}-3&-1\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}B=\tfrac1{2}\begin{pmatrix}-3&-1\\\ 2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} =\tfrac1{2}\begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},
e
x_{\mathrm{ss}}=-\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\cdot3 =\begin{pmatrix}-3\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

A solução geral é
x(t)=x_{\mathrm{ss}}+e^{At}\bigl(x(0)-x_{\mathrm{ss}}\bigr).
Com x(0)=0, temos x(0)-x_{\mathrm{ss}}=-x_{\mathrm{ss}}=(3,0)^{T}. Então falta calcular
x_{h}(t)=e^{At}\begin{pmatrix}3\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Como os autovalores de A são \lambda_{1}=-1 e \lambda_{2}=-2, pode-se mostrar (por diagonalização ou fórmula de Cayley–Hamilton) que
e^{At}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2e^{-t}+e^{-2t}\\[6pt]2e^{-t}-2e^{-2t}\end{pmatrix}.
Multiplicando por 3, obtemos a parte homogênea com condição inicial (3,0)^{T}:
x_{h}(t)=\begin{pmatrix}-6e^{-t}+3e^{-2t}\\[4pt]6e^{-t}-6e^{-2t}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Somando a parte estacionária x_{\mathrm{ss}}=(-3,0)^{T} com x_{h}(t), vem
x(t) =x_{\mathrm{ss}}+x_{h}(t) =\begin{pmatrix}-3\\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6e^{-t}+3e^{-2t}\\[4pt]6e^{-t}-6e^{-2t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-6e^{-t}+3e^{-2t}\\[4pt]6e^{-t}-6e^{-2t}\end{pmatrix}.]

Resposta

x_{1}(t)=-3-6e^{-t}+3e^{-2t}, \quad x_{2}(t)=6e^{-t}-6e^{-2t}, \quad (t\ge0).

Exercícios relacionados