Questão 1 (10 pontos) Considere o subespaço \mathbb{W}=\{(a+5 b+3 c,-2 a+6 b+2 c, 3 a-b+c) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\} do \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que \operatorname{dim} \mathbb{W}=2, encontre uma base do subespaço \mathbb{W}.
(b) Encontre uma equação, ou conjunto de equações, do representante geométrico de \mathbb{W} (subespaço nulo, reta pela origem, plano pela origem ou o próprio \mathbb{R}^{3} ).
(c) Encontre uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço \mathbb{W}=\{(a+5b+3c,\,-2a+6b+2c,\;3a-b+c)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}
e diz que \dim\mathbb{W}=2. Pede-se
(a) uma base de \mathbb{W},
(b) a(s) equação(ões) do seu representante geométrico em \mathbb{R}^3,
(c) uma base ortogonal de \mathbb{W}.
Vamos usar conceitos de geração por vetores, produto vetorial para plano e o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Para achar uma base, extraímos os vetores geradores associados a a,b,c:
v_1=(1,-2,3),\quad v_2=(5,6,-1),\quad v_3=(3,2,1).
Como \dim\mathbb{W}=2, há uma dependência linear entre v_1,v_2,v_3. Testamos v_1 e v_2: não são múltiplos, logo são independentes. Assim
\mathbb{W}=\mathrm{Span}\{v_1,v_2\}
e uma base é \{v_1,v_2\}.

Passo 3

Para obter a(s) equação(ões) de \mathbb{W}, que é um plano pela origem, calculamos a normal via produto vetorial:
n = v_1\times v_2 =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-2&3\\\\ 5&6&-1 \end{pmatrix} =(-16,\,16,\,16).
Podemos simplificar para n=(-1,1,1). A equação é
n\cdot(x,y,z)=0 \quad\Longrightarrow\quad -\,x+y+z=0.

Passo 4

Para construir uma base ortogonal, aplicamos Gram–Schmidt aos vetores v_1,v_2. Seja
u_1 = v_1,\qquad u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1.
Calculamos
\langle u_1,u_1\rangle =1^2+(-2)^2+3^2=14, \quad \langle v_2,u_1\rangle =5\cdot1+6\cdot(-2)+(-1)\cdot3=-10,
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u_2 = v_2 - \Bigl(-\frac{10}{14}\Bigr)\,v_1 = v_2 + \frac{5}{7}\,v_1 =(5,6,-1)+\tfrac{5}{7}(1,-2,3) =(40/7,32/7,8/7).
Multiplicando por 7 para eliminar denominadores, obtemos um vetor paralelo (40,32,8), e ainda mais simplificado (5,4,1), que satisfaz \langle v_1,(5,4,1)\rangle=0.

Resposta

(a) Uma base de \mathbb{W} é
\{(1,-2,3),\;(5,6,-1)\}.
(b) Como é um plano pela origem, sua única equação é
-\,x+y+z=0.
(c) Uma base ortogonal de \mathbb{W} é
\{(1,-2,3),\;(5,4,1)\}.

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