Questão 1 (10 pontos) Considere o subespaço \mathbb{W}=\{(a+5 b+3 c,-2 a+6 b+2 c, 3 a-b+c) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\} do \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que \operatorname{dim} \mathbb{W}=2, encontre uma base do subespaço \mathbb{W}.
(b) Encontre uma equação, ou conjunto de equações, do representante geométrico de \mathbb{W} (subespaço nulo, reta pela origem, plano pela origem ou o próprio \mathbb{R}^{3} ).
(c) Encontre uma base ortogonal de W.
Passo 1
O enunciado define o subespaço \mathbb{W}=\{(a+5b+3c,\,-2a+6b+2c,\;3a-b+c)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}
e diz que \dim\mathbb{W}=2. Pede-se
(a) uma base de \mathbb{W},
(b) a(s) equação(ões) do seu representante geométrico em \mathbb{R}^3,
(c) uma base ortogonal de \mathbb{W}.
Vamos usar conceitos de geração por vetores, produto vetorial para plano e o processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Para achar uma base, extraímos os vetores geradores associados a a,b,c:
Multiplicando por 7 para eliminar denominadores, obtemos um vetor paralelo (40,32,8), e ainda mais simplificado (5,4,1), que satisfaz \langle v_1,(5,4,1)\rangle=0.
Resposta
(a) Uma base de \mathbb{W} é
\{(1,-2,3),\;(5,6,-1)\}.
(b) Como é um plano pela origem, sua única equação é