Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=x^2-2 y^2-x y+14 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^2-2y^2-xy+14y
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos calcular as derivadas parciais primeiras para achar onde o gradiente se anula e depois usar as derivadas segundas (Hessiana) para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2-2y^2-xy+14y)=2x - y,
fy(x,y)=partialpartial y(x^2-2y^2-xy+14y)=-4y - x +14
Igualando o gradiente a zero:
2x - y = 0, -,x - 4y +14 = 0
Da primeira equação vem ,y=2x. Substituindo na segunda:
-,x -4(2x) +14 = 0 ;Longrightarrow; -,x -8x +14 =0 ;Longrightarrow; -9x +14 =0 ;Longrightarrow; x = 149,
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;y = 2x = 289
Há, portanto, um único ponto crítico l(tfrac149,tfrac289r).

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas segundas para montar a Hessiana:
fxx=2, fxy=partialpartial y(2x-y)=-1, fyy=-4
O determinante da Hessiana em qualquer ponto é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 =2cdot(-4)-(-1)^2 =-8 -1 =-9
Como D<0, concluímos que o ponto crítico l(tfrac149,tfrac289r) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é l(tfrac149,tfrac289r), e ele é um ponto de sela.

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