Seja a função
.
a) (1) Calcule suas raizes.
b) (1) Determine as coordenadas do seu vértice.
c) (3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função.
d) (3) Calcule a área da região sob o gráfico da função no intervalo
.
a) (1) Calcule suas raizes.
b) (1) Determine as coordenadas do seu vértice.
c) (3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função.
d) (3) Calcule a área da região sob o gráfico da função no intervalo
Passo 1
O enunciado trata de uma função quadrática
e pede: (a) as raízes da parábola; (b) o vértice; (c) a reta tangente ao gráfico; (d) a área sob o gráfico em
. Para isso vamos usar as fórmulas de resolução de equação quadrática, vértice de parábola, derivada para tangentem e integração definida.
Passo 2
Para as raízes resolvemos
colocando em evidência
:
Logo as raízes são
e
.
Passo 3
O vértice de uma parábola
está em
.
Aqui ,
, então
Aqui
O valor de
nesse ponto é
Portanto o vértice é
.
Passo 4
A derivada é
Em um ponto genérico
, a reta tangente obedece
Como
e
, a equação da tangente em
fica
Passo 5
Para a área sob o gráfico em
calculamos
Resposta
a) As raízes são
e
.
b) O vértice é .
c) Em , a reta tangente é
b) O vértice é
c) Em
d) A área sob o gráfico em
é
.