Seja a função f(x)=-x^2+5 x.
a) (1) Calcule suas raizes.
b) (1) Determine as coordenadas do seu vértice.
c) (3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função.
d) (3) Calcule a área da região sob o gráfico da função no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado trata de uma função quadrática
f(x) = -x^2 + 5x
e pede: (a) as raízes da parábola; (b) o vértice; (c) a reta tangente ao gráfico; (d) a área sob o gráfico em [0,2]. Para isso vamos usar as fórmulas de resolução de equação quadrática, vértice de parábola, derivada para tangentem e integração definida.

Passo 2

Para as raízes resolvemos
-x^2 + 5x = 0
colocando em evidência x:
x(-x + 5) = 0
Logo as raízes são
x = 0 e -x+5=0Rightarrow x=5.

Passo 3

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c está em
xv = -b2a.
Aqui a=-1, b=5, então
xv = -52cdot(-1) = 52
O valor de f nesse ponto é
fl(tfrac52r) = -l(tfrac52r)^2 + 5cdottfrac52 = -254 + 252 = 254
Portanto o vértice é l(tfrac52,tfrac254r).

Passo 4

A derivada é
f'(x) = ddxl(-x^2+5xr) = -2x + 5
Em um ponto genérico x0, a reta tangente obedece
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)
Como f(x0) = -x0^2 + 5x0 e f'(x0) = -2x0+5, a equação da tangente em l(x0,f(x0)r) fica
y - l(-x0^2 + 5x0r) = (-2x0+5),(x - x0)

Passo 5

Para a área sob o gráfico em [0,2] calculamos
integral0^2l(-x^2+5xr),dx = [-x^33 + 5x^22]0^2 = l(-83 + 10r) - 0 = 223

Resposta

a) As raízes são ,0 e 5.
b) O vértice é l(tfrac52,tfrac254r).
c) Em x0, a reta tangente é
y - l(-x0^2 + 5x0r) = (-2x0+5),(x - x0)
d) A área sob o gráfico em [0,2] é tfrac223.

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