Questão 4. Um fabricante estima que a produção anual de certa fábrica é dada por
Q(K, L)=30 K^0,3 L^0,7
unidades, em que K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão de obra em homens-horas.
a) Determine a produtividade marginal do capital, QK, e a produtividade marginal da mão de obra, QL, para um capital imobilizado de R 630.000,00$ e um volume de mão de obra de 830 homenshoras.
b) Para aumentar rapidamente a produtividade, o fabricante deve aumentar o investimento ou a mão de obra?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção do tipo Cobb–Douglas
Q(K,L)=30,K^0,3L^0,7
em que K (em milhares de reais) e L (em homens-horas) são variáveis de entrada. Pede-se as productividades marginais, que são as derivadas parciais partial Q/partial K e partial Q/partial L, avaliadas em K=630 e L=830.

Passo 2

Calculamos simbolicamente as derivadas parciais:
QK=partial Qpartial K =30cdot0,3;K^0,3-1L^0,7 =9,K^-0,7L^0,7,
QL=partial Qpartial L =30cdot0,7;K^0,3L^0,7-1 =21,K^0,3L^-0,3

Passo 3

Agora avaliamos em K=630 e L=830. Note que
K^-0,7L^0,7=gl(LKgr)^0,7 =l(830630r)^0,7 approx1,2138,
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QK=9times1,2138approx10,92
Do mesmo modo,
K^0,3L^-0,3=gl(KLgr)^0,3 =l(630830r)^0,3 approx0,9205,
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QL=21times0,9205approx19,33

Passo 4

Para aumentar rapidamente a produção, escolhe-se o insumo com maior produtividade marginal. Aqui
QLapprox19,33>QKapprox10,92,
então é mais eficiente aumentar a mão de obra do que o capital.

Resposta

QK(630,830)approx10,92 unidades por mil reais adicionais.
QL(630,830)approx19,33 unidades por homem-hora adicional.
Para aumentar rapidamente a produtividade, deve-se aumentar a mão de obra.

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