Questão 5. Determine quais são os pontos críticos da função e classifique cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=16x+6y+x^2-3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x,y)=16x+6y+x^2-3y^2
e depois classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vamos usar derivadas parciais para encontrar onde o gradiente some 0 e, em seguida, o Hessiano para classificar o tipo de cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = -16x^2 + 2x = 0, fy = -6y^2 - 6y = 0
Da primeira,
-16x^2 + 2x = 0 ;Rightarrow; 2x = 16x^2 ;Rightarrow; 2x^3=16 ;Rightarrow; x^3=8 ;Rightarrow; x=2
Da segunda,
-6y^2 - 6y = 0 ;Rightarrow; -6y^2 = 6y ;Rightarrow; -6 = 6y^3 ;Rightarrow; y^3=-1 ;Rightarrow; y=-1
Assim, o único ponto crítico é (2,-1).

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas para formar o Hessiano:
fxx = ddxl(-tfrac16x^2+2xr) = 32x^3 + 2,
fyy = ddyl(-tfrac6y^2 - 6yr) = 12y^3 - 6,
fxy = partialpartial yl(-tfrac16x^2+2xr) = 0

Passo 4

Avalia-mos as segundas derivadas em (2,-1):
fxx(2,-1) = 322^3 + 2 = 4 + 2 = 6, fyy(2,-1) = 12(-1)^3 - 6 = -12 - 6 = -18,
fxy(2,-1) = 0
O determinante do Hessiano é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = 6 cdot (-18) - 0 = -108 < 0
Como D<0, o ponto (2,-1) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (2,-1) e ele é um ponto de sela.

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