Questão 5
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
F(x, y, z)=(e^x y z, x-yraiz1-x^2-y^2, 11+x^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade em (0,0,0) da função vetorial
Fcolon R^3 longrightarrow R^3, F(x,y,z) = l(e^xyz,,x-yraiz1-x^2-y^2,,11+x^2+z^2r)
O conteúdo é continuidade de função vetorial: basta ver a continuidade de cada componente.

Passo 2

Identificamos o domínio de cada componente:
e^xyz é definida em todo (x,y,z)inR^3, x-yraiz1-x^2-y^2 exi>= 1-x^2-y^2>0, 11+x^2+z^2 é definida em todo (x,y,z)inR^3 éé
Logo o domínio de F é (x,y,z)mid x^2+y^2<1. Como (0,0,0) satisfaz 0^2+0^2<1, ele pertence ao domínio.

Passo 3

Cada componente é combinação de funções elementares contínuas em torno de (0,0,0):
  1. ,(x,y,z)mapsto xyz é polinomial, logo contínua, e e^u é contínua em u=0.
  2. (x,y)mapsto x-y e (x,y)mapsto raiz1-x^2-y^2 são contínuas para x^2+y^2<1; a divisão é válida porque raiz1-0-0=1neq 0.
  3. (x,z)mapsto 1+x^2+z^2 é contínua e nunca zera, logo umapsto1/u é contínua em u=1.
    Portanto cada componente de F é contínua em (0,0,0).

Passo 4

Como todas as componentes são contínuas em (0,0,0), a função vetorial F é contínua em (0,0,0).

Resposta

F é contínua em (0,0,0).

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