Questão 5
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade em
da função vetorial
O conteúdo é continuidade de função vetorial: basta ver a continuidade de cada componente.
Passo 2
Identificamos o domínio de cada componente:
Logo o domínio de
F é
(x,y,z)mid x^2+y^2<1 . Como
(0,0,0) satisfaz
0^2+0^2<1 , ele pertence ao domínio.
Passo 3
Cada componente é combinação de funções elementares contínuas em torno de
(0,0,0) :
-
é polinomial, logo contínua, e,(x,y,z)mapsto xyz é contínua eme^u .u=0 -
e(x,y)mapsto x-y são contínuas para(x,y)mapsto raiz1-x^2-y^2 ; a divisão é válida porquex^2+y^2<1 .raiz1-0-0=1neq 0 -
é contínua e nunca zera, logo(x,z)mapsto 1+x^2+z^2 é contínua emumapsto1/u .u=1
Portanto cada componente de é contínua emF .(0,0,0)
Passo 4
Como todas as componentes são contínuas em
(0,0,0) , a função vetorial
F é contínua em
(0,0,0) .