Questão 5
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
H(x, y)=cc(11+x^2+y^4, x^2 y^32 x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) (1,0), & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado apresenta a função vetorial de duas variáveis H=(H1,H2) definida por
H1(x,y)=11+x^2+y^4, H2(x,y)=x^2y^32x^2+y^2
para (x,y)neq(0,0) e H(0,0)=(1,0). Queremos testar a continuidade de H em (0,0). Lembrando que uma função vetorial é contínua se cada componente for contínua naquele ponto, vamos calcular os limites de H1 e H2 quando (x,y)to(0,0) e comparar com os valores dados.

Passo 2

Analisando a primeira componente,
H1(x,y)=11+x^2+y^4
Como x^2+y^4to0 quando (x,y)to(0,0), temos
lim(x,y)to(0,0)H1(x,y) =11+0+0=1
Esse resultado coincide com H1(0,0)=1, logo H1 é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora a segunda componente,
H2(x,y)=x^2y^32x^2+y^2
Para mostrar que lim(x,y)to(0,0)H2(x,y)=0, usamos uma desigualdade. Observe que
|H2(x,y)| =|x^2y^3|2x^2+y^2 <=|x^2y^3|y^2 =|x^2y| <= (x^2+y^2)^3/2
Como (x^2+y^2)^3/2to0 em (0,0), segue que |H2(x,y)|to0 e, portanto,
lim(x,y)to(0,0)H2(x,y)=0
Isso coincide com H2(0,0)=0, logo H2 também é contínua em (0,0).

Passo 4

Como ambas as componentes H1 e H2 têm limite igual ao valor definido em (0,0), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)H(x,y) =(1,0) =H(0,0),
ou seja, H é contínua em (0,0).

Resposta

A função H é contínua no ponto (0,0).

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