Questão 5
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
.
Determine se a seguintes funções vetoriais de duas variáveis são contínuas no ponto ( 0,0 ):
Passo 1
O enunciado apresenta a função vetorial de duas variáveis
definida por
para
e
. Queremos testar a continuidade de
em
. Lembrando que uma função vetorial é contínua se cada componente for contínua naquele ponto, vamos calcular os limites de
e
quando
e comparar com os valores dados.
Passo 2
Analisando a primeira componente,
Como
quando
, temos
Esse resultado coincide com
, logo
é contínua em
.
Passo 3
Agora a segunda componente,
Para mostrar que
, usamos uma desigualdade. Observe que
Como
em
, segue que
e, portanto,
Isso coincide com
, logo
também é contínua em
.
Passo 4
Como ambas as componentes
e
têm limite igual ao valor definido em
, concluímos que
ou seja,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.