Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
Passo 1
O enunciado pede duas séries de potências centradas em : uma para
e outra para , além de determinar o intervalo (ou raio) de convergência de cada uma. Vamos usar frações parciais e série geométrica no primeiro caso, e a série de Maclaurin de no segundo.
Passo 2
Decompomos
em frações parciais. Como está sugerido,
Passo 3
Reescrevemos cada termo como série geométrica válida em torno de :
- Para note que
válido se , isto é |x|<2.
- Para 1x-3 escrevemos
1x-3=-13-x =-13,11-x3 =-sumn=0^inftyx^n3^,n+1,
válido se l|tfracx3r|<1, ou seja |x|<3.
Passo 4
Somando as duas séries obtemos
1x^2-5x+6 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^,n+1r)x^n
O raio de convergência é determinado pelo menor dos dois (narrowest) intervalos: |x|<2.
Passo 5
Para sen(2x) usamos a série de Maclaurin de sen u: