Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências ∑ an x^n representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
1x^2-5 x+6=-1x-2+1x-3
sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede duas séries de potências centradas em 0: uma para
1x^2-5x+6
e outra para sen(2x), além de determinar o intervalo (ou raio) de convergência de cada uma. Vamos usar frações parciais e série geométrica no primeiro caso, e a série de Maclaurin de sen u no segundo.

Passo 2

Decompomos
1x^2-5x+6
em frações parciais. Como está sugerido,
1x^2-5x+6 =-1x-2+1x-3

Passo 3

Reescrevemos cada termo como série geométrica válida em torno de x=0:
- Para -1x-2 note que
-1x-2=12-x =12,11-x2 =sumn=0^inftyx^n2^n+1,
válido se l|tfracx2r|<1, isto é |x|<2.
- Para 1x-3 escrevemos
1x-3=-13-x =-13,11-x3 =-sumn=0^inftyx^n3^,n+1,
válido se l|tfracx3r|<1, ou seja |x|<3.

Passo 4

Somando as duas séries obtemos
1x^2-5x+6 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^,n+1r)x^n
O raio de convergência é determinado pelo menor dos dois (narrowest) intervalos: |x|<2.

Passo 5

Para sen(2x) usamos a série de Maclaurin de sen u:
sen u=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+1(2n+1)!
Tomando u=2x, temos
sen(2x) =sumn=0^infty(-1)^n,(2x)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,2^2n+1(2n+1)!;x^2n+1
Essa série converge para todo x (raio infinito).

Resposta

Para 1x^2-5x+6:
sumn=0^inftyl(12^n+1-13^,n+1r)x^n, |x|<2
Para sen(2x):
sumn=0^infty(-1)^n,2^2n+1(2n+1)!;x^2n+1, xin(-infty,infty)

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