Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências ∑ an x^n representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
1x^2-5 x+6=-1x-2+1x-3
e^x^2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1. Expandir
1x^2-5x+6
em série de potências centrada em 0, ou seja, achar coeficientes an tais que
1x^2-5x+6=sumn=0^inftyanx^n,
e determinar o intervalo (raio) de convergência.
2. Fazer o mesmo para
e^x^2,
usando a série já conhecida de e^u com u=x^2.
Para a primeira função vamos usar frações parciais e séries geométricas. Para a segunda, a expansão de e^u=sumk=0^inftytfracu^kk!.

Passo 2

Começamos por decompor
1x^2-5x+6
em frações parciais. Note que x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Fazendo a decomposição padrão, obtém-se
1(x-2)(x-3) =-1x-2+1x-3

Passo 3

Expandimos cada termo como série geométrica centrada em 0. Primeiro,
-1x-2 =-1-2,11-x2 =12sumn=0^inftyl(x2r)^n =sumn=0^infty12^n+1,x^n,
válido para l|tfracx2r|<1, isto é, |x|<2.
Em seguida,
1x-3 =-13,11-x3 =-sumn=0^infty13^,n+1,x^n,
válido para |x|<3.

Passo 4

Somando as duas séries obtemos
1x^2-5x+6 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^,n+1r)x^n
O raio de convergência é dado pela interseção dos dois raios, logo |x|<2.

Passo 5

Agora expandimos
usando a série de
Aqui só aparecem potências pares ; podemos reescrever como
onde
í
O raio de convergência dessa série é infinito, pois a série de .
]

Resposta

Para
com raio de convergência .
Para :
í
com raio de convergência (+\infty].

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