Usando representações em séries de potências, já conhecidas, encontre uma série de potências representando cada uma das funções dadas e dê o intervalo no qual a convergência ocorre.
Sugestão: Observe que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: . Expandir
em série de potências centrada em , ou seja, achar coeficientes tais que
e determinar o intervalo (raio) de convergência. . Fazer o mesmo para
usando a série já conhecida de com .
Para a primeira função vamos usar frações parciais e séries geométricas. Para a segunda, a expansão de .
Passo 2
Começamos por decompor
em frações parciais. Note que . Fazendo a decomposição padrão, obtém-se
Passo 3
Expandimos cada termo como série geométrica centrada em . Primeiro,
válido para , isto é, |x|<2.
Em seguida,
1x-3 =-13,11-x3 =-sumn=0^infty13^,n+1,x^n,
válido para |x|<3.
Passo 4
Somando as duas séries obtemos
1x^2-5x+6 =sumn=0^inftyl(12^n+1-13^,n+1r)x^n
O raio de convergência é dado pela interseção dos dois raios, logo |x|<2.
Passo 5
Agora expandimos
usando a série de
Aqui só aparecem potências pares ; podemos reescrever como
onde
í
O raio de convergência dessa série é infinito, pois a série de .