Questão 1. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=2-(0,4)^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo a questão. A gente precisa descobrir se a sequência definida por $ a_n = 2 - (0,4)^n $ vai se aproximar de algum número específico quando $ n $ cresce indefinidamente. Se sim, essa sequência converge e o número para o qual ela tende é o limite. Se não, então ela diverge. Vamos ver como resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir ou divergir. Quando dizemos que uma sequência converge, significa que, à medida que aumentamos o número de termos ($ n $), os valores da sequência se aproximam cada vez mais de um número fixo, chamado de limite. Por outro lado, se a sequência não se aproxima de nenhum número específico, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da sequência: $ a_n = 2 - (0,4)^n $. O ponto chave aqui é entender o comportamento de $ (0,4)^n $ quando $ n $ cresce.
Sabemos que $ 0,4 $ é um número entre 0 e 1. Quando um número nessa faixa é elevado a potências cada vez maiores, o resultado vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero. Por exemplo:
  • $ (0,4)^1 = 0,4 $
  • $ (0,4)^2 = 0,16 $
  • $ (0,4)^3 = 0,064 $
  • E assim vai…
Percebeu? À medida que $ n $ aumenta, $ (0,4)^n $ diminui rapidamente, ficando bem próximo de zero.

Passo 4

Com isso em mente, vamos substituir esse comportamento na expressão da sequência:
an = 2 - (0,4)^n
À medida que $ n $ fica maior:
n
Então:
(0,4)^n approx 0
Isso mostra que, conforme $ n $ aumenta, $ a_n $ se aproxima cada vez mais de 2.

Resposta

A sequência $ a_n = 2 - (0,4)^n $ converge e o seu limite é 2.

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