Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que .
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que , para todo .
Dica para 4.(n): lembre que .

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
an = 3 + 5n^2,n + n^2,
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. Vamos usar o conceito de limite de razão de polinômios em ntoinfty.

Passo 2

Note que o numerador e o denominador são polinômios em n de mesmo grau ( 2): o termo de maior ordem do numerador é 5n^2 e do denominador é n^2. Em limites para ntoinfty, a razão desses polinômios tende à razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Para deixar isso explícito, dividimos numerador e denominador por n^2:
an = 3 + 5n^2n + n^2 = 3n^2 + 5nn^2 + 1 = 3n^2 + 51n + 1

Passo 3

Ao fazermos n to infty, vemos que tfrac3n^2to0 e tfrac1nto0. Logo
limntoinftyan = 0 + 50 + 1 = 5
Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 5.

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