Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
x y^2 d x-(2-y x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y^2,dx ;-;l(2 - y,x^2r),dy ;=;0
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas, onde identificamos
M(x,y)=x,y^2, N(x,y)=-l(2 - y,x^2r)=y,x^2-2
e conferimos se partial M/partial y=partial N/partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(x,y^2r) =2,x,y,
partial Npartial x =partialpartial xl(y,x^2-2r) =2,x,y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para resolver, buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y) e partial phipartial y=N(x,y)
Começamos integrando M em relação a x:
phi(x,y) =integral x,y^2,dx =tfrac12,x^2,y^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora diferenciamos phi em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y =x^2,y + h'(y) =y,x^2-2
Isto implica
h'(y)=-2 Longrightarrow h(y)=-2,y + C1

Passo 5

Logo a função potencial completa é
phi(x,y) =tfrac12,x^2,y^2-2,y,
e a solução geral da equação diferencial exata vem de
phi(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

tfrac12,x^2,y^2-2,y=C,
ou, multiplicando tudo por 2, equivalentemente
x^2,y^2-4,y=C'

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