Verifique que as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas, onde identificamos
e conferimos se
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para resolver, buscamos uma função potencial
tal que
Começamos integrando
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Isto implica
Passo 5
Logo a função potencial completa é
e a solução geral da equação diferencial exata vem de
com
constante arbitrária.
Resposta
ou, multiplicando tudo por
, equivalentemente