Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que .
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que , para todo .
Dica para 4.(n): lembre que .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = cos^2n2^n
e, caso ela convirja, determinar o seu limite. O conteúdo principal é o estudo de limites de sequências usando o fato de que o numerador é limitado e o denominador cresce exponencialmente.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
0 <= cos^2n <= 1
pois o quadrado do cosseno de qualquer número real nunca é negativo nem ultrapassa 1.

Passo 3

Dividindo a desigualdade anterior por 2^n, que é sempre positivo, obtemos
0 ;<=; cos^2n2^n ;<=; 12^n

Passo 4

Sabemos que
limntoinfty12^n = 0
Pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), como an está “espremida” entre 0 e 1/2^n, concluímos que
limntoinftyan = 0

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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