Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que
.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que
, para todo
.
Dica para 4.(n): lembre que
.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que
Dica para 4.(n): lembre que
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
e, caso ela convirja, determinar o seu limite. O conteúdo principal é o estudo de limites de sequências usando o fato de que o numerador é limitado e o denominador cresce exponencialmente.
Passo 2
Observamos que para todo
vale
pois o quadrado do cosseno de qualquer número real nunca é negativo nem ultrapassa 1.
Passo 3
Dividindo a desigualdade anterior por
, que é sempre positivo, obtemos
Passo 4
Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), como
está “espremida” entre 0 e
, concluímos que
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.