Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime sen y=cos y(1-x cos y) ; z=sec y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y',sin y = cos y,l(1 - xcos yr)
e sugere a substituição z = sec y. O conteúdo aqui é ODE de primeira ordem e uso de substituição para obter uma equação linear em z(x).

Passo 2

Como z = sec y, diferenciando em relação a x temos
dzdx = y',sec y,tan y
Da equação original isolamos
y' = cos y,(1 - xcos y)sin y,
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dzdx = cos y,(1 - xcos y)sin y;sin ycos^2y = 1 - xcos ycos y = sec y - x = z - x

Passo 3

Reescrevendo, ficamos com a ODE linear em z:
dzdx - z = -x

Passo 4

O fator integrante é e^-x. Multiplicando a equação por e^-x obtemos
l(z,e^-xr)' = -x,e^-x
Integramos ambos os lados:
z,e^-x = integral -x,e^-x,dx = e^-x(x+1) + C
Multiplicando por e^x:
z = x + 1 + C,e^x

Passo 5

Voltando à substituição , a solução geral é

Resposta

sec y = x + 1 + C,e^x

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