Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que .
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que , para todo .
Dica para 4.(n): lembre que .

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = raiz[n]2^1+3n
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. Vamos usar propriedades de potências e raízes para reescrever an de forma mais simples e então estudar seu comportamento quando ntoinfty.

Passo 2

Reescrevemos a raiz n-ésima como potência de expoente tfrac1n:
an = l(2^1+3nr)^1n = 2^1+3nn

Passo 3

Separamos o expoente tfrac1+3nn em duas parcelas:
1+3nn = 1n + 3,
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an = 2^1n+3 = 2^1ncdot 2^3 = 8cdot 2^1n

Passo 4

Agora usamos que, para qualquer base fixa 2>0,
limntoinfty2^1n =2^limntoinfty1n =2^0 =1

Passo 5

Como an=8cdot 2^1n e 2^1nto1, segue que
limntoinftyan = 8cdot1 = 8
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 8.

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