Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{3^{n}}{n!}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n = \frac{3^n}{n!}
e, se convergir, determinar \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo aqui é limite de sequência e usaremos o teste da razão para sequência.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{3^n}{n!}
e calculamos a razão entre termos consecutivos:
r_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Substituindo a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} e a_n = \frac{3^n}{n!}, vem
r_n = \frac{\tfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\tfrac{3^n}{n!}} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!\,}\,\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}.
Como n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}r_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} = 0.

Passo 4

O teste da razão para sequência afirma que, se \lim r_n = L < 1, então \lim a_n = 0. Aqui L=0<1, logo
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n!} = 0.

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