Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}\right\};

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
e pede para verificar se ela converge quando n\to\infty e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Aqui vamos usar o conceito de comparação de crescimentos e, para justificar formalmente, aplicar a regra de L’Hôpital a uma função contínua equivalente.

Passo 2

Considere a função contínua
f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}},
para x>0. O comportamento de a_n para n\to\infty coincide com o de f(x) quando x\to\infty. Note que, ao calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}},
temos uma forma indeterminada \infty/\infty, então aplicamos a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0.

Passo 4

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=0, segue que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}} = 0.

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