Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
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Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para verificar se ela converge quando
e, em caso afirmativo, determinar seu limite. Aqui vamos usar o conceito de comparação de crescimentos e, para justificar formalmente, aplicar a regra de L’Hôpital a uma função contínua equivalente.
Passo 2
Considere a função contínua
para
. O comportamento de
para
coincide com o de
quando
. Note que, ao calcular
temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Derivando numerador e denominador em relação a
, obtemos
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 4
Como
, segue que
. Portanto a sequência converge.
Resposta
A sequência é convergente e