Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
\left\{\frac{3 n-1}{4 n+5}\right\};

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_n = \frac{3n - 1}{4n + 5}
e pede para verificar se ela é monótona e, em caso afirmativo, estudar sua convergência.
Conteúdos necessários:
– Teste de monotonicidade por diferença a_{n+1}-a_n.
– Cálculo de limite de sequência racional para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, escrevemos explicitamente a_{n+1}:
a_{n+1} = \frac{3(n+1) - 1}{4(n+1) + 5} = \frac{3n + 3 - 1}{4n + 4 + 5} = \frac{3n + 2}{4n + 9}.

Passo 3

Calculamos a diferença
a_{n+1} - a_n = \frac{3n + 2}{4n + 9} \;-\; \frac{3n - 1}{4n + 5} = \frac{(3n+2)(4n+5) - (3n-1)(4n+9)}{(4n+9)(4n+5)}.
No numerador:
(3n+2)(4n+5) = 12n^2 + 23n + 10, \quad (3n-1)(4n+9) = 12n^2 + 23n - 9,
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a_{n+1}-a_n = \frac{12n^2 + 23n + 10 - (12n^2 + 23n - 9)}{(4n+9)(4n+5)} = \frac{19}{(4n+9)(4n+5)}.
Como (4n+9)(4n+5)>0 para todo n\in\mathbb{N}, temos a_{n+1}-a_n>0. Assim, (a_n) é estritamente crescente.

Passo 4

Para o limite quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3 - \tfrac{1}{n}}{4 + \tfrac{5}{n}} = \frac{3}{4}.
Como (a_n) é crescente e limitada superiormente por \tfrac{3}{4}, ela converge para \tfrac{3}{4}.

Resposta

A sequência \bigl(a_n\bigr) é estritamente crescente e converge para \dfrac{3}{4}.

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