Questão 1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes. Se as sequências convergem, encontre seus limites.
\left\{\frac{n}{e^{n}}\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n}{e^{n}},
e pede para verificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar o seu limite. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para sequências.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{n+1}{e^{\,n+1}}}{\frac{n}{e^{\,n}}} = \frac{n+1}{n} \,\cdot\,\frac{e^{\,n}}{e^{\,n+1}} = \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)\frac{1}{e}.
Agora avaliamos o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)\frac{1}{e} = \frac{1}{e}<1.

Passo 3

Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão garante que a_{n} converge. Além disso, quando uma sequência positiva satisfaz esse critério, ela converge para 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{e^{n}} = 0.

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