Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
;
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
e pede para verificar se ela é monótona e, em caso afirmativo, estudar sua convergência.
Conteúdos necessários:
– Teste de monotonicidade por diferença .
– Cálculo de limite de sequência racional para determinar a convergência.
Conteúdos necessários:
– Teste de monotonicidade por diferença
– Cálculo de limite de sequência racional para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, escrevemos explicitamente
:
Passo 3
Calculamos a diferença
No numerador:
logo
Como
para todo
, temos
. Assim,
é estritamente crescente.
Passo 4
Para o limite quando
, dividimos numerador e denominador por
:
Como
é crescente e limitada superiormente por
, ela converge para
.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e converge para
.