Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
e determinar se ela é monótona; caso seja, verificar sua convergência. O conteúdo principal aqui é o critério de monotonicidade de sequências e o teorema que diz que toda sequência monótona e limitada converge.
e determinar se ela é monótona; caso seja, verificar sua convergência. O conteúdo principal aqui é o critério de monotonicidade de sequências e o teorema que diz que toda sequência monótona e limitada converge.
Passo 2
Vamos mostrar que
é crescente, ou seja, que
Observe que
No numerador vem
Como o denominador
é positivo, concluímos que
, logo
é crescente.
Passo 3
Agora verificamos limites superior e inferior. Para todo
vale
pois
e
. Assim
é limitada inferiormente por
e superiormente por
. Pelo teorema da convergência de sequência monótona limitada,
converge.
Passo 4
Para encontrar o limite, note que quando
temos
, então
Resposta
A sequência
é monótona crescente e converge para
.