Questão 2. Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não. Caso sejam monótonas, verifique a convergência delas.
\left\{\frac{2^{n}}{1+2^{n}}\right\};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência \displaystyle a_{n} = \frac{2^{n}}{1+2^{n}}
e determinar se ela é monótona; caso seja, verificar sua convergência. O conteúdo principal aqui é o critério de monotonicidade de sequências e o teorema que diz que toda sequência monótona e limitada converge.

Passo 2

Vamos mostrar que (a_{n}) é crescente, ou seja, que
a_{n+1} - a_{n} > 0
Observe que
a_{n+1} - a_{n} = \frac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} - \frac{2^{n}}{1+2^{n}} = \frac{2^{n+1}(1+2^{n}) - 2^{n}(1+2^{n+1})}{(1+2^{n+1})(1+2^{n})}.
No numerador vem
2^{n+1}(1+2^{n}) - 2^{n}(1+2^{n+1}) = 2^{n+1} + 2^{2n+1} - 2^{n} - 2^{2n+1} = 2^{n+1} - 2^{n} = 2^{n}(2 - 1) = 2^{n} > 0.
Como o denominador (1+2^{n+1})(1+2^{n}) é positivo, concluímos que a_{n+1}-a_{n}>0, logo (a_{n}) é crescente.

Passo 3

Agora verificamos limites superior e inferior. Para todo n vale
0 < \frac{2^{n}}{1+2^{n}} < 1,
pois 2^{n}>0 e 1+2^{n}>2^{n}. Assim (a_{n}) é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Pelo teorema da convergência de sequência monótona limitada, (a_{n}) converge.

Passo 4

Para encontrar o limite, note que quando n\to\infty temos 2^{n}\to\infty, então
\frac{2^{n}}{1+2^{n}} = 1 - \frac{1}{1+2^{n}} \;\longrightarrow\;1 - 0 = 1.

Resposta

A sequência \displaystyle a_{n} = \frac{2^{n}}{1+2^{n}} é monótona crescente e converge para 1.

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