) Questão (
): Mostre que a série é convergente e encontre um valor numérico
tal que a soma da série é menor que
(observe as instruções do exame).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que a série
é convergente; (b) encontrar um valor numérico
tal que a soma da série seja menor que
. As informações dadas são os termos gerais
para
. Não há imagens nem outros dados.
Passo 2
Observe que todos os termos da série são positivos, pois
e
para todo
. Portanto podemos aplicar testes de comparação para séries de termos positivos: se conseguimos uma série maior, convergente, então a original também converge; se conseguimos uma série menor e divergente, isso não serve aqui. Vamos procurar uma série geométrica de razão
que domine termo a termo a nossa sequência.
Passo 3
Compare diretamente o termo geral com a potência geométrica
. Note que, para todo
,
logo, dividindo por
e usando que
, obtemos
Passo 4
Explicando a ideia do teste de comparação: para séries de termos não-negativos, se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui
e
, e acabamos de mostrar
para todo
. Portanto basta verificar a convergência da série geométrica
.
Passo 5
Recordando a soma de uma série geométrica: para
,
No nosso caso
e
, logo a série geométrica converge e
Passo 6
Pelo teste de comparação (Passo 4) e pelo cálculo da soma geométrica (Passo 5), a série
converge e sua soma é estritamente menor que
, pois cada termo é estritamente menor que o correspondente termo geométrico. Portanto podemos escolher
.
Resposta
A série converge.
, com