2^{\text {a }} ) Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Mostre que a série é convergente e encontre um valor numérico K tal que a soma da série é menor que K (observe as instruções do exame).
(1,5 \mathrm{pt}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{4^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{4^{n}+1} é convergente; (b) encontrar um valor numérico K tal que a soma da série seja menor que K. As informações dadas são os termos gerais \dfrac{3^{n}}{4^{n}+1} para n=1,2,\dots. Não há imagens nem outros dados.

Passo 2

Observe que todos os termos da série são positivos, pois 3^{n}>0 e 4^{n}+1>0 para todo n. Portanto podemos aplicar testes de comparação para séries de termos positivos: se conseguimos uma série maior, convergente, então a original também converge; se conseguimos uma série menor e divergente, isso não serve aqui. Vamos procurar uma série geométrica de razão |r|<1 que domine termo a termo a nossa sequência.

Passo 3

Compare diretamente o termo geral com a potência geométrica \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}. Note que, para todo n\ge1,
4^{n}+1>4^{n},
logo, dividindo por 4^{n}+1 e usando que 4^{n}+1>4^{n}, obtemos
\frac{3^{n}}{4^{n}+1}<\frac{3^{n}}{4^{n}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.

Passo 4

Explicando a ideia do teste de comparação: para séries de termos não-negativos, se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui a_n=\dfrac{3^{n}}{4^{n}+1} e b_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}, e acabamos de mostrar a_n<b_n para todo n. Portanto basta verificar a convergência da série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}.

Passo 5

Recordando a soma de uma série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\dfrac{3}{4} e |r|=\dfrac{3}{4}<1, logo a série geométrica converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}=\frac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}}=3.

Passo 6

Pelo teste de comparação (Passo 4) e pelo cálculo da soma geométrica (Passo 5), a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{4^{n}+1} converge e sua soma é estritamente menor que 3, pois cada termo é estritamente menor que o correspondente termo geométrico. Portanto podemos escolher K=3.

Resposta

A série converge.
K=3, com \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{4^{n}+1}<3

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