2^{\text {a }} ) Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Mostre que a série é convergente e encontre um valor numérico K tal que a soma da série é menor que K (observe as instruções do exame).
(1,5 \mathrm{pt}) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{4}+1}
e pede duas coisas: mostrar que a série é convergente e encontrar um valor numérico K tal que a soma da série seja menor que K. Observação útil: para todo n\ge2 os termos são positivos, isto é, \dfrac{n}{n^{4}+1}>0.

Passo 2

Vamos comparar os termos da série com uma série conhecida e mais simples. Para n\ge2 vale a desigualdade
n^{4}+1 \ge n^{4},
pois somar 1 só aumenta o denominador. Dividindo ambos os lados por n^{4}(n^{4}+1) (ou raciocinando diretamente), obtém-se
\frac{n}{n^{4}+1} \le \frac{n}{n^{4}} = \frac{1}{n^{3}}.
Logo, para todo n\ge2,
0 \le \frac{n}{n^{4}+1} \le \frac{1}{n^{3}}.

Passo 3

Agora lembro uma propriedade clássica (teste da série p): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=3>1, logo a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge. Para ser didático, dou um limite numérico simples para a cauda dessa série usando o teste integral: como a função f(x)=x^{-3} é positiva e decrescente para x\ge1, vale a desigualdade
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} \le \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx.
Calculo a integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-3}\,dx = \left[\frac{x^{-2}}{-2}\right]_{1}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} \le \frac{1}{2}.

Passo 4

Usando a desigualdade do Passo 2 e o fato do Passo 3, pelas propriedades do teste da comparação (se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge então \sum a_n converge) concluímos:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1} \le \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} \le \frac{1}{2}.
Assim a série pedida é convergente e podemos tomar um valor numérico K=\dfrac{1}{2} que satisfaz que a soma da série é menor que K.

Passo 5

Resumo final e dica para a prova: reconhecer a ordem assintótica do termo geral (aqui \sim 1/n^{3}) já indica usar comparação com uma série p- com p=3. Para obter um K explícito, usar o teste integral para estimar a soma da série menor comparável.

Resposta

A série é convergente.
A soma da série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^{4}+1} é menor que \dfrac{1}{2}.

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