) Questão (
): Mostre que a série é convergente e encontre um valor numérico
tal que a soma da série é menor que
(observe as instruções do exame).
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: mostrar que a série é convergente e encontrar um valor numérico
tal que a soma da série seja menor que
. Observação útil: para todo
os termos são positivos, isto é,
.
Passo 2
Vamos comparar os termos da série com uma série conhecida e mais simples. Para
vale a desigualdade
pois somar
só aumenta o denominador. Dividindo ambos os lados por
(ou raciocinando diretamente), obtém-se
Logo, para todo
,
Passo 3
Agora lembro uma propriedade clássica (teste da série p): a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso
, logo a série
converge. Para ser didático, dou um limite numérico simples para a cauda dessa série usando o teste integral: como a função
é positiva e decrescente para
, vale a desigualdade
Calculo a integral:
Portanto
Passo 4
Usando a desigualdade do Passo 2 e o fato do Passo 3, pelas propriedades do teste da comparação (se
e
converge então
converge) concluímos:
Assim a série pedida é convergente e podemos tomar um valor numérico
que satisfaz que a soma da série é menor que
.
Passo 5
Resumo final e dica para a prova: reconhecer a ordem assintótica do termo geral (aqui
) já indica usar comparação com uma série
- com
. Para obter um
explícito, usar o teste integral para estimar a soma da série menor comparável.
Resposta
A série é convergente.
A soma da série é menor que
.
A soma da série