Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- Limites de integração:
e . - Integrando:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desta integral.
Passo 2
Primeiro vamos manipular algebricamente o integrando para deixá-lo em termos mais simples. Usamos a identidade quadrado da diferença:
Aqui
e
. Aplicando:
Portanto a integral fica
Passo 3
Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
Agora calculamos cada termo separadamente.
Passo 4
Aplicamos a regra da potência para integrais: para
,
- Para
: . - Para a constante:
, então . - Para
: .
Somando as primitivas, uma antiderivada é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo:
Calculemos
e
.
Para
:
Colocando em denominador comum
:
Para
:
Agora a diferença:
Passo 6
Breve comentário para checar coerência: o integrando é um quadrado, logo não negativo, e a integral obtida
é positiva — faz sentido.