Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}dx.
Informações fornecidas:
  • Limites de integração: 1 e 2.
  • Integrando: \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desta integral.

Passo 2

Primeiro vamos manipular algebricamente o integrando para deixá-lo em termos mais simples. Usamos a identidade quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Aqui a=x e b=\dfrac{1}{x}. Aplicando:
\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}\right)dx.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
\int_{1}^{2}\left(x^{2}-2+\dfrac{1}{x^{2}}\right)dx = \int_{1}^{2}x^{2}dx-2\int_{1}^{2}dx+\int_{1}^{2}x^{-2}dx.
Agora calculamos cada termo separadamente.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Para n=2: \displaystyle \int x^{2}dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Para a constante: \displaystyle \int dx=x, então \displaystyle -2\int dx=-2x.
  • Para n=-2: \displaystyle \int x^{-2}dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Somando as primitivas, uma antiderivada é
F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-2x - x^{-1}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{1}^{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}dx=F(2)-F(1).
Calculemos F(2) e F(1).
Para x=2:
F(2)=\dfrac{2^{3}}{3}-2\cdot 2 - \dfrac{1}{2} =\dfrac{8}{3}-4-\dfrac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
F(2)=\dfrac{16}{6}-\dfrac{24}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{16-24-3}{6}=\dfrac{-11}{6}.
Para x=1:
F(1)=\dfrac{1^{3}}{3}-2\cdot 1 - 1 =\dfrac{1}{3}-2-1=\dfrac{1}{3}-3=\dfrac{1-9}{3}=\dfrac{-8}{3}.
Agora a diferença:
F(2)-F(1)=\dfrac{-11}{6}-\left(\dfrac{-8}{3}\right)=\dfrac{-11}{6}+\dfrac{16}{6}=\dfrac{5}{6}.

Passo 6

Breve comentário para checar coerência: o integrando é um quadrado, logo não negativo, e a integral obtida \dfrac{5}{6} é positiva — faz sentido.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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