Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5} converge ou diverge. Informações dadas: a sequência de termos gerais é a_n=\dfrac{1}{2 n^{2}+3 n+5} para n=1,2,3,\dots. Vi a imagem enviada, mas ela não traz informação numérica necessária para resolver a série — então não usei nenhum dado dela.

Passo 2

Explico uma ferramenta que o enunciado já indicou: o Teste da Comparação (direto) para séries com termos positivos. Esse teste diz o seguinte, de forma simples e prática:
  • Se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Se 0\le b_n\le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
Outra série padrão que usamos para comparar é a série p (p-série):
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Sabe-se (teorema clássico) que essa série converge se, e só se, p>1. Em particular, para p=2 temos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge.

Passo 3

Vamos comparar \displaystyle a_n=\frac{1}{2 n^{2}+3 n+5} com uma p-série. Note que, para todo n\ge1,
2n^{2}+3n+5 \ge 2n^{2},
pois 3n+5\ge0. Como o denominador da fração a_n é maior ou igual a 2n^{2}, o inverso é menor ou igual ao inverso de 2n^{2}. Assim
0 < \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5} \le \frac{1}{2 n^{2}}.

Passo 4

Escrevendo \dfrac{1}{2 n^{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{n^{2}}, temos a desigualdade de séries termo a termo:
0\le a_n \le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Somando sobre n e usando o Teste da Comparação Direta: como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2>1), então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^{2}} também converge (multiplicar por constante não altera convergência). Pela desigualdade termo a termo, \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2 n^{2}+3 n+5} converge também.

Passo 5

Vou mostrar uma alternativa (útil na prova) que dá a mesma conclusão: o Teste da Comparação por Limite. Calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2 n^{2}+3 n+5}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2 n^{2}+3 n+5}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2},
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{5}{n^{2}}}=\frac{1}{2}.
O limite é finito e positivo ( 1/2\neq0), então pelas propriedades do teste de limite, \sum a_n e \sum \dfrac{1}{n^{2}} têm o mesmo comportamento de convergência. Como \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que \sum a_n converge. Esse método costuma ser mais direto quando o termo geral tem o mesmo grau polinomial no numerador/denominador.

Passo 6

Conclusão final: a série de termos positivos \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2 n^{2}+3 n+5} converge. Sinta-se confiante: em provas, ao ver um termo com n^{2} no denominador, já pense em comparar com \dfrac{1}{n^{2}} (p-série com p=2).

Resposta

Converge.

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