Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}+3 n+5};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas: a sequência de termos gerais é
para
. Vi a imagem enviada, mas ela não traz informação numérica necessária para resolver a série — então não usei nenhum dado dela.
Passo 2
Explico uma ferramenta que o enunciado já indicou: o Teste da Comparação (direto) para séries com termos positivos. Esse teste diz o seguinte, de forma simples e prática:
- Se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - Se
para todo suficientemente grande e diverge, então diverge.
Outra série padrão que usamos para comparar é a série p (p-série):
.
Sabe-se (teorema clássico) que essa série converge se, e só se, . Em particular, para
temos que
converge.
Sabe-se (teorema clássico) que essa série converge se, e só se,
Passo 3
Vamos comparar
com uma p-série. Note que, para todo
,
pois
. Como o denominador da fração
é maior ou igual a
, o inverso é menor ou igual ao inverso de
. Assim
Passo 4
Escrevendo
, temos a desigualdade de séries termo a termo:
Somando sobre
e usando o Teste da Comparação Direta: como
converge (p-série com
), então a série
também converge (multiplicar por constante não altera convergência). Pela desigualdade termo a termo,
converge também.
Passo 5
Vou mostrar uma alternativa (útil na prova) que dá a mesma conclusão: o Teste da Comparação por Limite. Calcule o limite
Dividindo numerador e denominador por
,
O limite é finito e positivo (
), então pelas propriedades do teste de limite,
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Como
converge, segue que
converge. Esse método costuma ser mais direto quando o termo geral tem o mesmo grau polinomial no numerador/denominador.
Passo 6
Conclusão final: a série de termos positivos
converge. Sinta-se confiante: em provas, ao ver um termo com
no denominador, já pense em comparar com
(p-série com
).
Resposta
Converge.