Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5};
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral é
. - O denominador é um polinômio quadrático em
, então o sinal de pode mudar para pequenos , mas para grande o comportamento assintótico (quando ) será dominado pelo termo . - A prova pedida deve usar o “teste da comparação” (posso usar a versão limite do teste da comparação se for conveniente).
A partir daqui vou trabalhar com isso e mostrar passo a passo a comparação que decide convergência.
Passo 2
Primeiro preciso garantir que posso aplicar corretamente um teste de comparação: esses testes (na forma usual) exigem termos não negativos. Vamos estudar o sinal de
.
Calculo as raízes do denominador
usando a fórmula quadrática:
As raízes são
Sendo um polinômio quadrático com coeficiente de
positivo (
), ele é positivo para
e para
. Como estamos somando sobre inteiros positivos
, concluímos que a partir de
o denominador é positivo, isto é,
para todo
. Logo a série pode ser analisada pela comparação tomando a cauda
(os termos
são apenas um número finito de termos e não afetam convergência/divergência).
Passo 3
Vou usar o Teste da Comparação na sua versão do “limite” (limit comparison test), porque é simples e direto quando conhecemos o comportamento dominante do termo para
grande.
Enunciado (versão que vou usar): suponha
e
para
grande e existe o limite
com
. Então
e
convergem ou divergem juntos. Vou escolher uma
simples cuja soma eu já conheça: a série
(série-p com
).
Breve lembrete sobre série-p: a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto
converge.
Passo 4
Defino
(o termo da série original, considerado para
) e
. Vou calcular o limite
Passo 5
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por
:
Tomando
as parcelas
e
vão para zero, então
Portanto o limite
existe e vale
, que é um número positivo e finito.
Passo 6
Pelo teste da comparação pelo limite, como
e
converge (série-p com
), segue que a cauda
também converge. Acrescentando os dois primeiros termos
(um número finito de termos) não altera a convergência da soma total. Logo a série original
converge.
Resposta
Converge.