Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5};

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2 n^{2}-3 n-5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{2 n^{2}-3 n-5}.
  • O denominador é um polinômio quadrático em n, então o sinal de a_n pode mudar para pequenos n, mas para n grande o comportamento assintótico (quando n\to\infty) será dominado pelo termo 2n^2.
  • A prova pedida deve usar o “teste da comparação” (posso usar a versão limite do teste da comparação se for conveniente).
    A partir daqui vou trabalhar com isso e mostrar passo a passo a comparação que decide convergência.

Passo 2

Primeiro preciso garantir que posso aplicar corretamente um teste de comparação: esses testes (na forma usual) exigem termos não negativos. Vamos estudar o sinal de a_n.
Calculo as raízes do denominador 2n^{2}-3n-5 usando a fórmula quadrática:
n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-5)}}{2\cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}.
As raízes são
n_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad n_2=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\tfrac{5}{2}=2{,}5.
Sendo um polinômio quadrático com coeficiente de n^2 positivo ( 2>0), ele é positivo para n<n_1 e para n>n_2. Como estamos somando sobre inteiros positivos n\ge 1, concluímos que a partir de n=3 o denominador é positivo, isto é, a_n>0 para todo n\ge 3. Logo a série pode ser analisada pela comparação tomando a cauda \sum_{n=3}^\infty a_n (os termos n=1,2 são apenas um número finito de termos e não afetam convergência/divergência).

Passo 3

Vou usar o Teste da Comparação na sua versão do “limite” (limit comparison test), porque é simples e direto quando conhecemos o comportamento dominante do termo para n grande.
Enunciado (versão que vou usar): suponha a_n>0 e b_n>0 para n grande e existe o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<+\infty. Então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntos. Vou escolher uma b_n simples cuja soma eu já conheça: a série b_n=\dfrac{1}{n^{2}} (série-p com p=2).
Breve lembrete sobre série-p: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2, portanto \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.

Passo 4

Defino a_n=\dfrac{1}{2 n^{2}-3 n-5} (o termo da série original, considerado para n\ge 3) e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Vou calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2 n^{2}-3 n-5}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2 n^{2}-3 n-5}.

Passo 5

Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}}{2 n^{2}-3 n-5} = \frac{1}{2 - \dfrac{3}{n} - \dfrac{5}{n^{2}}}.
Tomando n\to\infty as parcelas \dfrac{3}{n} e \dfrac{5}{n^{2}} vão para zero, então
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{2 n^{2}-3 n-5} = \frac{1}{2-0-0}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite L existe e vale L=\dfrac{1}{2}, que é um número positivo e finito.

Passo 6

Pelo teste da comparação pelo limite, como L=\dfrac{1}{2}\in(0,+\infty) e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge (série-p com p=2), segue que a cauda \sum_{n=3}^{\infty}\dfrac{1}{2 n^{2}-3 n-5} também converge. Acrescentando os dois primeiros termos n=1,2 (um número finito de termos) não altera a convergência da soma total. Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2 n^{2}-3 n-5} converge.

Resposta

Converge.

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