Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n{4}+n{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}
converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge 1 (porque o denominador é positivo).
  • O enunciado indicou o uso do teste da comparação (ou seja, comparar com uma série conhecida).

Passo 2

Vou explicar rapidamente e de forma prática o que precisamos do “teste da comparação”. Existem duas formas úteis: a comparação direta e a comparação por limite. A versão que usaremos é a comparação direta, cuja ideia é:
  • Se 0\le a_n \le b_n para todo n a partir de algum N e se \sum b_n é convergente, então \sum a_n também converge.
    Aqui a_n e b_n são termos não-negativos. Isso faz sentido porque somar coisas menores que uma soma finita não pode dar infinito.

Passo 3

Primeiro checamos a positividade dos termos, condição necessária para aplicar a comparação direta:
  • Para todo n\ge 1 temos n^{4}+n^{2}+1>0, logo
a_n=\frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}>0.
Portanto podemos aplicar o teste da comparação direta.

Passo 4

Agora escolhemos uma série conhecida para comparar. Uma escolha natural é a série-p (p-series)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Um fato padrão (que vou recordar) é: a série-p converge se, e somente se, p>1. Exemplo concreto: para p=4 a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}
converge porque 4>1. Nós usaremos essa série como comparação porque os termos da nossa série têm grau 4 no denominador.

Passo 5

Agora fazemos a comparação direta com \displaystyle \frac{1}{n^{4}}. Para todo n\ge 1 vale
n^{4}+n^{2}+1 \ge n^{4},
porque os termos n^{2} e 1 são não-negativos. Tomando recíprocos (sempre que os termos são positivos, inverter preserva a desigualdade, mas invertendo o sentido; aqui vamos comparar as frações diretamente):
0<\frac{1}{n^{4}+n^{2}+1} \le \frac{1}{n^{4}}.
Portanto, para todo n\ge 1 temos a_n \le b_n com b_n=\dfrac{1}{n^{4}}.

Passo 6

Como já vimos, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} converge (é uma série-p com p=4>1). Pela comparação direta: se 0\le a_n \le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge. Aplicando isso ao nosso caso, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}+n^{2}+1}
converge.

Passo 7

(Verificação alternativa, opcional mas rápida) Se quisermos usar o teste da comparação por limite, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{4}+n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n^{4}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4}}{n^{4}+n^{2}+1}=1.
Como o limite é um número finito e positivo e \sum 1/n^{4} converge, pela comparação por limite a série original também converge. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

A série converge.

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