Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n{4}+n{2}+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n{4}+n{2}+1};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar:
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
(porque o denominador é positivo). - O enunciado indicou o uso do teste da comparação (ou seja, comparar com uma série conhecida).
Passo 2
Vou explicar rapidamente e de forma prática o que precisamos do “teste da comparação”. Existem duas formas úteis: a comparação direta e a comparação por limite. A versão que usaremos é a comparação direta, cuja ideia é:
- Se
para todo a partir de algum e se é convergente, então também converge.
Aquie são termos não-negativos. Isso faz sentido porque somar coisas menores que uma soma finita não pode dar infinito.
Passo 3
Primeiro checamos a positividade dos termos, condição necessária para aplicar a comparação direta:
- Para todo
temos , logo
Portanto podemos aplicar o teste da comparação direta.
Passo 4
Agora escolhemos uma série conhecida para comparar. Uma escolha natural é a série-p (p-series)
Um fato padrão (que vou recordar) é: a série-p converge se, e somente se,
. Exemplo concreto: para
a série
converge porque
. Nós usaremos essa série como comparação porque os termos da nossa série têm grau
no denominador.
Passo 5
Agora fazemos a comparação direta com
. Para todo
vale
porque os termos
e
são não-negativos. Tomando recíprocos (sempre que os termos são positivos, inverter preserva a desigualdade, mas invertendo o sentido; aqui vamos comparar as frações diretamente):
Portanto, para todo
temos
com
.
Passo 6
Como já vimos, a série
converge (é uma série-p com
). Pela comparação direta: se
e
converge, então
converge. Aplicando isso ao nosso caso, concluímos que
converge.
Passo 7
(Verificação alternativa, opcional mas rápida) Se quisermos usar o teste da comparação por limite, calculamos
Como o limite é um número finito e positivo e
converge, pela comparação por limite a série original também converge. Isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
A série converge.