Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes que temos do próprio enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
temos (os termos são positivos). - A questão pede uso do TESTE DA COMPARAÇÃO (comparação direta ou limite de comparação são opções naturais).
Não vamos resolver ainda; apenas registrei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar a comparação direta: a ideia é comparar
com uma série conhecida cuja convergência ou divergência nós já sabemos — aqui a escolha natural é uma série-p (p-series) do tipo
. Vou mostrar uma desigualdade entre
e uma potência negativa de
que torna a comparação fácil.
Passo 3
Observe que, para todo
,
Como o denominador de
é maior ou igual a
, o quociente é menor ou igual ao quociente com
no denominador. Portanto,
Passo 4
Agora simplificamos o membro da direita usando potências:
Então, para todo
,
Esta é a desigualdade que nos permite aplicar o teste de comparação direta.
Passo 5
Lembrete / mini-aula sobre séries-p: a série
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, isto é
. Portanto a série
converge.
Passo 6
Aplicando o teste da comparação direta: como para todo
temos
e como a série comparadora
converge, segue que a série original
também converge. (Intuição: os termos
são menores que os termos de uma série que já sabemos que somam um número finito.)
Passo 7
Comentário extra (opcional, só para fixar): poderíamos também usar o teste da comparação por limite (limit comparison). Calculando
como o limite é finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento; como
converge, a original também converge. Isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
A série converge.