Questão 9. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA COMPARAÇÃO)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
converge ou diverge. Informações relevantes que temos do próprio enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}.
  • Para todo n\ge 1 temos a_n>0 (os termos são positivos).
  • A questão pede uso do TESTE DA COMPARAÇÃO (comparação direta ou limite de comparação são opções naturais).
    Não vamos resolver ainda; apenas registrei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar a comparação direta: a ideia é comparar \displaystyle a_n com uma série conhecida cuja convergência ou divergência nós já sabemos — aqui a escolha natural é uma série-p (p-series) do tipo \displaystyle \sum \frac{1}{n^{p}}. Vou mostrar uma desigualdade entre a_n e uma potência negativa de n que torna a comparação fácil.

Passo 3

Observe que, para todo n\ge 1,
n^{2}+1 \ge n^{2}.
Como o denominador de \displaystyle a_n é maior ou igual a n^2, o quociente é menor ou igual ao quociente com n^2 no denominador. Portanto,
\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} \le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos o membro da direita usando potências:
\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}=\frac{n^{1/2}}{n^{2}}=n^{1/2-2}=n^{-3/2}=\frac{1}{n^{3/2}}.
Então, para todo n\ge 1,
0\le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Esta é a desigualdade que nos permite aplicar o teste de comparação direta.

Passo 5

Lembrete / mini-aula sobre séries-p: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=\tfrac{3}{2}, isto é p=\dfrac{3}{2}>1. Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
converge.

Passo 6

Aplicando o teste da comparação direta: como para todo n\ge 1 temos
0\le a_n=\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}\le \frac{1}{n^{3/2}},
e como a série comparadora \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} converge, segue que a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1} também converge. (Intuição: os termos \displaystyle a_n são menores que os termos de uma série que já sabemos que somam um número finito.)

Passo 7

Comentário extra (opcional, só para fixar): poderíamos também usar o teste da comparação por limite (limit comparison). Calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}}{\frac{1}{n^{3/2}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1,
como o limite é finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento; como \sum 1/n^{3/2} converge, a original também converge. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

A série converge.

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