Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^{2}+1};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^{2}+1};
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
usando o teste da integral. Esse teste afirma que, se existir uma função contínua, positiva e decrescente
em
tal que
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Passo 2
Definimos
–
é contínua e positiva para
.
– Derivando,
– Derivando,
Para
,
, logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Então
Avaliaremos de
a
:
Passo 4
Tomando o limite
,
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.