Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\pi / 2}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\pi/2}}
converge ou diverge, usando o teste da integral. Esse teste diz que, se f(x) é contínua, positiva e decrescente em [1,\infty) e f(n)=a_n, então
  • \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge ⇒ \sum a_n converge,
  • \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx diverge ⇒ \sum a_n diverge.

Passo 2

Definimos f(x)=x^{-\pi/2}. Para x\ge1, f(x)>0. Além disso,
f'(x) = -\tfrac{\pi}{2}\,x^{-\pi/2-1} < 0,
logo f é decrescente e contínua em [1,\infty). As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}x^{-\pi/2}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}x^{-\pi/2}\,dx.
Como \pi/2\neq1, usa-se
\int x^{-\pi/2}\,dx =\frac{x^{1-\pi/2}}{1-\pi/2}.
Portanto
\int_{1}^{b}x^{-\pi/2}\,dx =\frac{b^{1-\pi/2}-1^{\,1-\pi/2}}{1-\pi/2} =\frac{b^{1-\pi/2}-1}{1-\pi/2}.
Como 1-\tfrac{\pi}{2}<0, temos b^{1-\pi/2}\to0 quando b\to\infty. Logo
\int_{1}^{\infty}x^{-\pi/2}\,dx =\frac{0-1}{1-\pi/2} =\frac{1}{\pi/2-1},
um valor finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, a convergência da integral implica a convergência da série. Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}x^{-\pi/2}\,dx converge, concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\pi/2}} também converge.

Resposta

A série converge.

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