Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\pi / 2}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\pi / 2}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste da integral. Esse teste diz que, se é contínua, positiva e decrescente em
e
, então
converge ou diverge, usando o teste da integral. Esse teste diz que, se
-
converge ⇒ converge, -
diverge ⇒ diverge.
Passo 2
Definimos
. Para
,
. Além disso,
logo
é decrescente e contínua em
. As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Como
, usa-se
Portanto
Como
, temos
quando
. Logo
um valor finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, a convergência da integral implica a convergência da série. Como
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série converge.