Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^{2}+1};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}
usando o teste da integral. Esse teste afirma que, se existir uma função contínua, positiva e decrescente f(x) em [1,\infty) tal que f(n)=a_n, então a série \sum a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
f(x) é contínua e positiva para x\ge1.
– Derivando,
f'(x) =\frac{(x^{2}+1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1, 1-x^{2}<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Fazemos a substituição u=x^{2}+1, de modo que du=2x\,dx ou x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Então
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du =\frac{1}{2}\ln|u|+C =\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.
Avaliaremos de 1 a t:
\int_{1}^{t}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)-\frac{1}{2}\ln2.

Passo 4

Tomando o limite t\to\infty,
\lim_{t\to\infty}\Bigl[\tfrac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\tfrac{1}{2}\ln2\Bigr] =\infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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