Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{n}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{n}};
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. Vamos associar a série à função contínua, positiva e decrescente
definida em
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral:
-
é contínua e positiva em . - A derivada é
para todo
, logo
é decrescente.
Portanto, podemos aplicar o teste da integral.
Portanto, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente:
que é finito. Pelo teste da integral, a série converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.