Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{e^{n}}
usando o teste da integral. Vamos associar a série à função contínua, positiva e decrescente
f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x},
definida em [1,\infty).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral:
  1. f(x)=e^{-x} é contínua e positiva em [1,\infty).
  2. A derivada é
f'(x) = -e^{-x} < 0
para todo x\ge1, logo f é decrescente.
Portanto, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
\int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} e^{-x}\,dx = \lim_{t\to\infty}\bigl[-e^{-x}\bigr]_{1}^{t} = \lim_{t\to\infty}\bigl(-e^{-t}+e^{-1}\bigr) = e^{-1},
que é finito. Pelo teste da integral, a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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