Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(3 n+1)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n+1)^{2}}
converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, consideramos a função
f(x)=\frac{1}{(3x+1)^{2}}
e aplicamos o teste da integral imprópria em x\ge1.

Passo 2

Verificamos que f(x) é positiva, contínua e estritamente decrescente para x\ge1, pois
f'(x) = -2\cdot\frac{3}{(3x+1)^{3}} < 0.
Logo, podemos usar o teste da integral: a série e o integral
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
convergem ou divergem juntos.

Passo 3

Calculamos o integral impróprio por substituição. Seja u=3x+1, então du=3\,dx e quando x=1, u=4, ao passo que x\to\infty implica u\to\infty. Assim,
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{(3x+1)^{2}} =\int_{4}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int_{4}^{\infty}u^{-2}\,du =\frac{1}{3}\Bigl[-u^{-1}\Bigr]_{4}^{\infty} =\frac{1}{3}\bigl(0 - (-\tfrac{1}{4})\bigr) =\frac{1}{12}.
Este valor é finito, logo o integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
converge, a série
\sum_{n=1}^{\infty}f(n)
também converge.

Resposta

A série converge.

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