Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e{-n{3}};

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}n^{2}e^{-n^{3}}
usando o teste da integral. Para isso, associamos à série a função contínua
f(x)=x^{2}e^{-x^{3}},\quad x\ge1,
de modo que f(n)=n^{2}e^{-n^{3}}.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral:
  1. f(x)>0 para todo x\ge1 (é produto de x^2>0 e e^{-x^3}>0).
  2. f é decrescente em [1,\infty). De fato,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) =e^{-x^{3}}\bigl(2x-3x^{4}\bigr) =x\,e^{-x^{3}}\bigl(2-3x^{3}\bigr).
Para x\ge1 temos 2-3x^{3}\le2-3<0, logo f'(x)<0.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x^{3}}\,dx.
Fazendo a substituição t=x^{3}, temos dt=3x^{2}dx ou x^{2}dx=\frac{dt}{3}. Assim,
\int_{1}^{\infty}x^{2}e^{-x^{3}}dx =\int_{t=1}^{\infty}\frac{e^{-t}}{3}\,dt =\frac{1}{3}\bigl[-e^{-t}\bigr]_{1}^{\infty} =\frac{1}{3}e^{-1}<\infty.

Passo 4

Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f satisfaz as condições do teste da integral, concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty}n^{2}e^{-n^{3}} também converge.

Resposta

A série converge.

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