Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e{-n{3}};
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2} e{-n{3}};
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
usando o teste da integral. Para isso, associamos à série a função contínua
de modo que
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral:
-
para todo (é produto de e ). -
é decrescente em . De fato,
Para
temos
, logo
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim,
Passo 4
Como
converge e
satisfaz as condições do teste da integral, concluímos que a série
também converge.
Resposta
A série converge.