Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(3 n+1)^{2}};
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(3 n+1)^{2}};
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, consideramos a função
e aplicamos o teste da integral imprópria em
.
Passo 2
Verificamos que
é positiva, contínua e estritamente decrescente para
, pois
Logo, podemos usar o teste da integral: a série e o integral
convergem ou divergem juntos.
Passo 3
Calculamos o integral impróprio por substituição. Seja
, então
e quando
,
, ao passo que
implica
. Assim,
Este valor é finito, logo o integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série converge.