Questão 4. Determine se a série converge ou diverge.(TESTE DA INTEGRAL)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{e^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}}
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos associar ao termo geral
a_n = \frac{n}{e^n}
a função contínua, positiva e decrescente
f(x) = \frac{x}{e^x} \quad\text{para }x\ge1,
e estudar a convergência de
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Verificamos as condições para aplicar o teste da integral:
  1. Continuidade e positividade: para x\ge1, x>0 e e^x>0, logo f(x)>0 e é contínua.
  2. Monotonicidade:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(xe^{-x}\bigr) = e^{-x}(1 - x).
Para x\ge1 temos 1-x\le0 e e^{-x}>0, então f'(x)\le0. Assim f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{x}{e^x}\,dx =\int_{1}^{\infty}x\,e^{-x}\,dx.
Use integração por partes com \displaystyle u = x, \,dv = e^{-x}dx, logo \displaystyle du=dx, \,v=-e^{-x}. Assim
\int x\,e^{-x}dx = -x\,e^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Avaliaremos de 1 a \infty:
\lim_{b\to\infty} \Bigl[-(x+1)e^{-x}\Bigr]_{1}^{b} = \Bigl[0\Bigr] - \Bigl[-(1+1)e^{-1}\Bigr] = 2e^{-1} <\infty.
Logo a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n)
converge também. Como mostramos que a integral é finita, concluímos que a série converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n}} converge.

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